Dejemos que $x_i(p, w_i)$ ser consumidor $i$ (marshalliano) y $y_j(p)$ ser firme $j$ La oferta que maximiza el beneficio de la empresa al precio $p$ . Un equilibrio competitivo es un precio $p$ tal que $$ \sum_{i=1}^I x_i(p, w_i(p, e_i)) = \sum_{j=1}^J y_j(p). $$
- Por concavidad estricta de $u_i$ Las demandas de los consumidores son funciones, más que correspondencias. Supongamos también que $y_j(p)$ son funciones.
- Puede haber múltiples bienes--por ejemplo, bien de consumo/tiempo (trabajo)/etc.
- Riqueza del agente $w_i$ puede depender del precio $p$ y la dotación $e_i$ ---por ejemplo, en una caja de Edgeworth donde las demandas son demandas de Slutsky en las dotaciones--- o transferencia de riqueza $w_i$ puede ser especificado como parte del equilibrio, sujeto a $$ \sum_i w_i = p^T (\sum_j y_j(p) + \sum_i e_i), $$ es decir, la riqueza agregada es igual al valor total de los bienes.
Agregación de consumidores
Bajo el supuesto de que $u_i$ son estrictamente cóncavos (y diferenciables, por ejemplo), se puede definir un consumidor representativo mediante una función de bienestar social lineal: $$ u_{rep}(x) = \max_{\sum_{i} x_i \leq x}\sum_i \frac{1}{I} u_i(x_i). $$ Entonces $u_{rep}$ también es estrictamente cóncavo. Sea $u_{rep, l}$ denota la utilidad marginal con respecto al bien $l$ , entonces por los Teoremas de la Envolvente y de Lagrange, $$ \frac{u_{rep, l}}{u_{rep, k}} = \frac{u_{i, l}}{u_{i, k}}, \;\; \mbox{for all $ i $}. $$ A un precio de equilibrio competitivo $p$ el MRS de $u_{rep}$ en la demanda agregada demanda $\sum_i x_i(p)$ es la relación de precios: $$ \frac{u_{rep, l} (\sum_i x_i(p),w_i)}{u_{rep, k}(\sum_i x_i(p), w_i)} = \frac{p_l}{p_k}. \quad(*) $$ Por concavidad de $u_{rep}$ El FOC $(*)$ implica que la demanda agregada en $p$ es el paquete óptimo para el consumidor representativo $u_{rep}$ en $p$ : $$ x_{rep}(p, \sum_i w_i) = \sum_i x_i(p, w_i). $$
- Como ya has empezado a decir en la pregunta, esta es una construcción general de un agente representativo (local) bajo el supuesto de concavidad. Por el Primer Teorema del Bienestar, CE es Pareto. Bajo la concavidad de $u_i$ Las asignaciones de Pareto deben surgir de un SWF lineal, lo que implica la existencia de un consumidor representativo.
- En este caso concreto, los consumidores reciben el mismo peso social $\alpha_i = \frac{1}{I}$ porque la riqueza de equilibrio es igual para todos los agentes. En general, $\alpha_i = \frac{1}{\lambda_i}$ donde $\lambda_i$ es consumidor $i$ de Lagrange. En particular, $\alpha_i$ sería creciente en el agente $i$ de la riqueza agregada.
- Si $u_i = u$ es homotético, con posibles niveles de riqueza diferentes entre los agentes, uno puede simplemente tomar $u_{rep} = u$ trivialmente. (No es necesario el supuesto de concavidad).
- Agregación de Gorman Aludido en los comentarios, es un contexto ligeramente diferente, creo. La agregación de Gorman dice que si todas las curvas de expansión de la riqueza son paralelas en todas las distribuciones de riqueza, entonces la demanda agregada es una función de la riqueza agregada y se tiene un agente representativo global. La noción de agregación de Gorman es independiente del equilibrio o de la eficiencia de Pareto. En el caso de su pregunta, el agente representativo local depende de la asignación inicial de CE; por ejemplo, diferentes distribuciones de dotaciones conducirían a diferentes pesos sociales.
Empresas agregadoras
Como se ha señalado en los comentarios, para agregar las empresas basta con utilizar la hipótesis del SIR y tomar $F_{rep} = F$ . Para una empresa de SRI, la duplicación del insumo significa que la producción también se duplica, con los mismos productos marginales. En equilibrio, la empresa sigue obteniendo un beneficio nulo. Para cualquiera de los $J$ empresas, la producción agregada $\sum_j y_j(p)$ también sería óptimo al mismo precio de equilibrio $p$ .
Con un precio de equilibrio determinado $p$ , $p = \nabla F(y_j(p))$ el vector gradiente de los productos marginales de la empresa $j$ para todos $j$ . Por la propiedad CRS/homogénea de grado uno, $$ \nabla F_{rep}(\sum_j y_j(p)) = \nabla F(y_1(p)) = p, $$ que te dice $y_{rep}(p) = \sum_j y_j(p)$ .
Juntando todo, dada la CE con la asignación $\{(x_i(p))_i, (y_j(p))_j \}$ y el precio $p$ , la asignación $\{\sum_i x_i(p), \sum_j y_j(p) \}$ y el precio $p$ es un EC para la economía con un agente $u_{rep}$ y una empresa $F_{rep}$ .
