Modelo de crecimiento de Solow - prueba analítica de que las condiciones de Inada implican que el capital en estado estacionario es creciente en la tasa de ahorro

Question

Tomemos el ejemplo de una función de producción genérica neutra para Harrod (que aumenta el trabajo) $f(k)$ ; todas las letras denotan las tasas de crecimiento que normalmente. En el modelo de crecimiento regular de Solow con los supuestos de Inada, es un resultado de su estática comparativa que, ya que $sf(k^*)=(n+\delta+g)k^*$ es la condición de estado estacionario, si suponemos $k^*$ es una función de la tasa de ahorro, entonces $\frac{\partial k^*}{\partial s}>0$ . La diferenciación total nos da que $$ \frac{\partial k^*}{\partial s} = \frac{f(k^*)}{(n+g+\delta)-sf'(k^*)},$$ y en mi clase el profesor afirmó que esta última expresión es estrictamente positiva porque el numerador está (bien) y el denominador también. Básicamente, se reduce al hecho de que $\frac{n+g+\delta}{s} > f'(k^*)$ y que esto es un hecho implícito en los supuestos de Inada.

He intentado trastear con el enunciado sobre el comportamiento limitante de la derivada a 0 (infinito) y cuando k tiende a infinito (cero); todo ello en vano. Si alguien pudiera ofrecer alguna pista o una explicación o una prueba de este hecho se lo agradecería profundamente. No se trata de una pregunta planteada para un trabajo ni nada por el estilo, sino de un interés personal (ya que tengo algunos conocimientos de análisis).

Answer 1

Queremos demostrar que

$$\frac{n+g+\delta}{s} > f'(k^*)$$

Sustituye el lado izquierdo por el equivalente de la expresión $sf(k^*)=(n+\delta+g)k^*$ y tú lo consigues:

$$ \frac{f(k^*)}{k^*} > f'(k^*) $$

Caso Cobb-Douglas

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $$f(k^*) = {k^*}^{\alpha}$$

Entonces, la desigualdad anterior es:

$$ {k^*}^{\alpha-1} > \alpha{k^*}^{\alpha-1} $$

Esto es:

$$ 1> \alpha $$

Esta condición representa una función de producción con rendimientos marginales decrecientes del capital, necesaria para que se cumplan las condiciones de Inada.

Caso general

Una función cóncava tiene la siguiente propiedad para cualquier $x$ y $y$ en el dominio:

$$f(y) \leq f(x) + f'(x)(y-x) $$

Reordenando, esto es:

$$ \frac{f(y)- f(x)}{y-x} \leq f'(x) \hspace{1cm}, \text{for } y>x $$

Es decir, la derivada de $f(x)$ en el punto $x$ no es menor que la pendiente del segmento entre $x$ y $y$ . Para el caso de una función estrictamente cóncava (necesaria para que se cumplan las condiciones de Inada), la desigualdad es estricta ( $<$ ), excepto en el caso trivial de $x = y$ .

Para una mayor confirmación, aplique lo anterior cuando $y=0$ y $x=k^*$ (nota aquí $y<x$ por lo que el signo de la desigualdad anterior se invierte). Dado que $f(0)=0$ lo consigues:

$$ \frac{f(k^*)}{k^*} > f'(k^*) $$

que es lo que queríamos demostrar.