Expectativa de la integral donde uno de los límites de la integración es una variable aleatoria

Question

¿Es correcto escribir

\begin {Ecuación} E_t \int_0 ^{X_T} f(z) dz = \int_0 ^ \infty \left ( \int_0 ^x f(z) dz \right ) p(x)dx \N-, \N-,? \end {Ecuación}

Aquí $X_T$ es una variable aleatoria positiva con densidad $p(x)$ y $f(z)$ es una función determinista. ¿Hay alguna otra forma de calcular la integral?

Answer 1

Esto está relacionado con la fórmula de la expectativa de la probabilidad de cola integrada:

$$ X= \int_0^X dx = \int_0^\infty 1_{X>x} dx,$$

seguido de

$$ E[X] = E \left[ \int_0^\infty 1_{X>x} dx \right] = \int_0^\infty E[1_{X>x}] dx $$ $$=\int_0^\infty P(X>x) dx = \int_0^\infty \left( \int_x^\infty p(z) dz\right) dx$$

Del mismo modo, para los deterministas $f$ tenemos:

$$ \int_0^X f(x) dx = \int_0^\infty 1_{X>x} f(x) dx,$$

seguido de

$$ E \left[ \int_0^X f(x) dx \right] = E \left[ \int_0^\infty 1_{X > x} f(x) dx \right] = \int_0^\infty E[1_{X> x} f(x)] dx $$ $$ =\int_0^\infty P(X> x) f(x) dx = \int_0^\infty \left( \int_x^\infty p(z) dz\right) f(x) dx $$

Answer 2

Creo que no se puede resolver definitivamente la integral, pero debería haber alguna forma de resolver una distribución en la integral. Siempre que la integral sea lo suficientemente suave para todos los valores que podría tomar la variable aleatoria. Buena suerte.