Función de preorden y multiutilidad

Question

Dejemos que $\succeq$ sea un preorden, es decir, que sea reflexivo y transitivo sobre $X$ . Demostrar que existe un conjunto de índices $N$ y una función de utilidad múltiple $u:X \rightarrow \mathbb{R}^N$ tal que $x \succeq y$ si y sólo si $[u(x)](n) > [u(y)](n)$ para todos $n \in N$ .

Conozco, por ejemplo, la relación $x \succeq y$ en $\mathbb{R}^2$ si $x_1 \ge y_1$ y $x_2 \ge y_2$ puede representarse con $N= \{1,2\}$ y la función de multiutilidad definida por $u(x) = (x_1, x_2)$ . Pero, no estoy seguro de cómo hacer la prueba general.

Answer 1

Parece una pregunta interesante, pero no estoy seguro de entender todos los detalles, así que esto es más un comentario que una respuesta. Dado que la relación de preferencia es incompleta, no podemos tener una función de utilidad de valor real que la represente (recordemos que la indiferencia es diferente de la indecisión porque esta última no es transitiva).

Además, no creo que se pueda tener un conjunto arbitrario $X$ junto con un $\succeq$ siendo representado por una dimensión finita $u$ . Para dar un ejemplo sencillo, supongamos que $X=[1,p_n]$ con $p_n$ siendo el $n-th$ primo y sus preferencias son $x\succeq y$ si $x\geq y$ y $x,y\in(p_k,p_{k+1}]$ para algunos $k<n$ . Hay $n$ subconjuntos de alternativas, cada uno con un orden de preferencia bien definido, pero las alternativas no son comparables entre subconjuntos, por lo que se necesita al menos $f(n)$ (no estoy seguro de la exactitud $f$ ) en su función de utilidad vectorial. Cuando $X=[1,\infty)$ el número de dimensiones se dispara.

Un ejemplo importante es el caso de la elección social. Supongamos que tiene $k$ individuos con preferencias sobre $X$ y quieres agregarlos. El orden de Pareto le da entonces $u(x)=(u_i(x))$ para todos $i$ la utilidad (ordinal) del individuo $i$ de la alternativa $x$ . De hecho, si $u_i(x)>u_i(y)$ para todos $i$ entonces $u(x)>u(y)$ .

Por último, si $X$ fuera finito, entonces simplemente ordenar los elementos de alguna manera $x^1,x^2,..,x^k$ y construir $u\in \mathbb R^k$ de la siguiente manera: $u_l(x^l)=1$ , $u_l(x^k)=1$ si $x^l\succeq x^k$ y $u_l(x^k)=0$ de lo contrario.

Para ver que esto representa las preferencias, observe que si $x^l\succeq x^{l'}$ , $u_l(x^l)=1>u_l(x^{l'})$ , $u_{l'}(x^l)=u_{l'}(x^{l'})$ ; si $x^m\succeq x^l$ debe ser que $x^m \succeq x^{l'}$ para que $u_m(x^l)=u_m(x^{l'})$ y viceversa, pero si $x^l\succeq x^m\succeq x^{l'}$ entonces $u_m(x^l)>u_m(x^{l'})$ y si $x^m$ no es comparable con $x^l$ no puede ser peor que $x^{l'}$ para que $u_m(x^l)=u_m(x^{l'})=0$ mientras que si no es comparable con $x^{l'}$ no puede ser mejor que $x^l$ .