Quiero demostrar que $$\int_0^T(T-t)dW_t=\int_0^TW_t \ dt \tag1$$
Por el lema de Ito podemos escribir $$d((T-t)W_t)=(T-t)dW_t-W_t \ dt.\tag{2}$$
Ahora bien, si integro esta expresión y uso que $W_0=0$ Debería poder demostrar que las integrales en $(1)$ son equivalentes según Wikipedia . ¿Se supone que debo integrar ambas partes en $(2)$ ? No veo cómo debería integrar el LHS de $(2)$ para demostrar que es cero. Esto debería ser fácil, pero mi cerebro se ha congelado.
Personalmente, me resulta difícil trabajar con la notación abreviada en el cálculo estocástico, así que para que conste, y para cualquiera que tenga problemas similares con la notación abreviada, añado la siguiente respuesta.
En el enlace de la wikipedia proporcionado, comienzan el argumento al que te refieres diciendo:
...tenlo en cuenta: $$d\left[(T-t)W_t\right]=(T-t)dW_t-W_tdt$$
La forma en que me gusta reescribir lo anterior es definir $F(t,W_t):=(T-t)W_t$ (para algunos $0<t\leq T$ ), y aplicar la expansión de Taylor alrededor de cero como sigue:
$$F(\delta t,\delta W_t)=F(0,W_0)+\frac{\partial F}{\partial t}\delta t+\frac{\partial F}{\partial W_t}\delta W_t+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial W_t^2}\delta W_t^2+...$$
De lo anterior, obtenemos:
$$F(\delta t,\delta W_t)=-W_t\delta t+(T-t)\delta W_t+0$$
Como es habitual en la derivación "heurística" del Lemma de Ito, tomando $\delta t \rightarrow dt$ y $\delta t \rightarrow dt \longleftrightarrow \delta W_t \rightarrow dW_t$ obtenemos:
$$F(t,W_t)=\int_{h=0}^{h=t}-W_hdh+\int_{h=0}^{h=t}\left(T-h\right)dW_h$$
Y sabemos que lo anterior es igual a $F(t,W_t)=(T-t)W_t$ (así es como definimos $F$ al principio antes de aplicar el lema de Ito).
El último paso consiste en establecer simplemente $t=T$ para conseguirlo:
$$F(T,W_T)=(T-T)W_T=0=\int_{h=0}^{h=T}-W_hdh+\int_{h=0}^{h=T}\left(T-h\right)dW_h$$
Por lo tanto:
$$\int_{h=0}^{h=T}W_hdh=\int_{h=0}^{h=T}\left(T-h\right)dW_h$$
Según se requiera. Es un poco más largo, incluso podría decirse que es "engorroso", pero para mí el uso de la notación de mano larga revela todos los diferentes pasos, mientras que la notación de mano corta sólo parece "mecánica", y a menudo me sorprendo a mí mismo dándome cuenta de que "no entiendo realmente la mecánica subyacente" cuando utilizo la mano corta (de nuevo, podría ser sólo yo...).
FinanHelp es una comunidad para personas con conocimientos de economía y finanzas, o quiere aprender. Puedes hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
