Según la Proposición 9.4 de la Introducción al Crecimiento Económico Moderno de Daron Acemoglu:
En el modelo de generaciones superpuestas con hogares que viven dos períodos, tecnología Cobb-Douglas y preferencias CRRA, existe un equilibrio estacionario único con una ratio de capital-labor k* dada por (9.15) y siempre y cuando $\theta \geq 1$, este equilibrio estacionario es globalmente estable para todo k (0) > 0.
Donde (9.15) es: $$(1+n)[1+\beta^{-\frac{1}{\theta}}(\alpha(k^*)^{\alpha-1})^{\frac{\theta-1}{\theta}}] = (1-\alpha)(k^*)^{\alpha - 1}$$
¿Por qué $\theta$ tiene que ser mayor o igual a 1 para que el equilibrio estacionario sea globalmente estable?
Como se deriva en el texto (9.17): $$k(t+1)=\frac{(1-\alpha)k(t)^\alpha}{(1+n)[1+\beta^{-\frac{1}{\theta}}(\alpha k(t+1)^{\alpha-1})^{\frac{\theta-1}{\theta}}]}$$
Podemos rearranjar para obtener: $$\begin{align} k(t)&=\big[ \frac{1+n}{1-\alpha} [k(t+1)+\beta^{-\frac{1}{\theta}}\alpha^{\frac{\theta-1}{\theta}}k(t+1)^{(\alpha-1)(1-\frac{1}{\theta})+1}] \big]^\frac{1}{\alpha} \text{ .....(1)} \end{align} $$
Sea $n = 0.01$, $\alpha = 0.25$, $\beta = 0.75$.
Si $\theta = 1$, podemos trazar el gráfico: 
La línea azul es la ecuación (1) donde $\theta = 1$ y la línea roja es la línea de 45 grados. Se puede ver que para todo k > 0, k convergerá al equilibrio estacionario k*. El equilibrio estacionario es globalmente estable.
El caso es similar para $\theta > 1$, en el cual el equilibrio estacionario es globalmente estable.
Si $\theta < 1$, como $\theta = 0.5$, podemos trazar un gráfico similar a: 
El gráfico es similar a los gráficos para el caso en que $\theta \geq 1$. El equilibrio estacionario sigue siendo globalmente estable.
No he podido encontrar un caso en el que $\theta < 1$, pero el equilibrio estacionario no es globalmente estable. Parece que $\frac{1}{\alpha} > 1$ para $\alpha \in (0,1)$ determina la forma de la ecuación (1), haciendo que el equilibrio estacionario sea globalmente estable. Sería bueno si alguien pudiera mostrarme un contraejemplo donde $\theta < 1$, pero el equilibrio estacionario no es globalmente estable. Sería mejor si alguien pudiera mostrarme cómo demostrar formalmente la proposición 9.4.
Agradecimientos: Los gráficos son modificados de los generados por Wolframalpha.
Edición (19 de abril de 2017): Caso $\theta = 0": Nota que cuando el libro deriva (9.17), asume implícitamente que $\theta \neq 0$ (para la derivación de la ecuación de Euler para el consumo en P.333 de la edición de 2009 del libro). Cuando $\theta = 0$, la ecuación (1) ya no se aplica. Volviendo al problema de maximización de la utilidad con $\theta = 0$:
$$ \text{max } U(t) = c_1(t) + \beta(c_2(t+1)) \text{ tal que } c_1(t) + \frac{c_2(t+1)}{R(t+1)} = w(t) \\ \Leftrightarrow \text{max } U(t) = c_1(t) + \beta(w(t) - c_1(t))R(t+1) = c_1(t) (1 - \beta R(t+1)) + \beta R(t+1)w(t) \\ \text{ ...Se debe tratar R(t+1) como dado en el problema de optimización del consumidor} $$
s(t) tiene que ser no negativo para $k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n}$ y k(t+1) es no negativo. $$ c_1(t)^* = \begin{cases} w(t)\text{, para }\beta R(t+1) <1 \\ [0, w(t)]\text{, para }\beta R(t+1) = 1 \\ 0\text{, para }\beta R(t+1) > 1 \\ \end{cases} $$ $$ s(t)^* = \begin{cases} 0\text{, para }\beta R(t+1) <1 \\ w(t) - c_1(t)^* \in [0, w(t)]\text{, para }\beta R(t+1) = 1 \\ w(t)\text{, para }\beta R(t+1) > 1 \\ \end{cases} $$ Para $R(t+1) = f'(k(t+1)) = \alpha k(t+1)^{\alpha - 1}$, $$ k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n} = \begin{cases} 0\text{, para }\beta R(t+1) <1 \Leftrightarrow k(t+1) < (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}} \\ \frac{w(t) - c_1(t)}{1+n} \in [0, \frac{w(t)}{1+n}]\text{, para }\beta R(t+1) = 1 \Leftrightarrow k(t+1) = (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}\\ \frac{w(t)}{1+n} = \frac{k(t)^\alpha - k(t)\alpha k(t)^{\alpha -1}}{1+n} = \frac{1-\alpha}{1+n}k(t)^\alpha\text{, otherwise} \Leftrightarrow k(t) > [\frac{1+n}{1 - \alpha} (\alpha \beta)^{\frac{1}{1 - \alpha}}]^{\frac{1}{\alpha}} \\ \end{cases} $$
Casos:
Caso 1: $\beta R(t+1) < 1 \Leftrightarrow R(t+1) < \frac{1}{\beta}$: Como la función de producción $f(k)$ es Cobb-Douglas, satisface la condición de Inada: $lim_{k(t) \to 0} f'(k(t)) = \infty$. Pero como $f'(k(t)) = R(t)$, $lim_{k(t) \to 0} R(t) < \infty$ para $R(t) < \frac{1}{\beta} < \infty$ ya que $\beta \in (0,1)$, lo cual viola la condición de Inada. Esta contradicción significa que este caso es imposible.
Caso 2: $\beta R(t+1) = 1 \Leftrightarrow \beta \alpha k(t+1)^{\alpha-1} = 1 \Leftrightarrow k(t+1)^{\alpha-1} = \frac{1}{\alpha \beta} \Leftrightarrow k(t+1)^{1-\alpha} = \alpha \beta$: Denotando la tasa de ahorro en t como $\mathcal{S}(t) = \frac{s(t)}{w(t)}$. $k(t+1) = \frac{s(t)}{1+n} = \frac{\mathcal{S}(t)w(t)}{1+n} = \frac{\mathcal{S}(t)(1-\alpha)k(t)^\alpha}{1+n}$. En estado estacionario, $k^* = \frac{\mathcal{S}^*(1-\alpha){k^*}^\alpha}{1+n}$, lo que significa que $\mathcal{S}^* = \frac{1+n}{1-\alpha}{k^*}^{1-\alpha} = \frac{1+n}{1-\alpha} \alpha \beta$. Para $\mathcal{S}^* > 1 \Leftrightarrow (1+n)\alpha\beta > 1 - \alpha \Leftrightarrow \beta > \frac{1 - \alpha}{\alpha (1+n)}$, lo cual es posible. Dado que la tasa de ahorro no puede ser mayor que 1, esta contradicción significa que este caso es imposible.
Caso 3: $\beta R(t+1) > 1$: Este caso es posible. $$ k(t+1) = \frac{1-\alpha}{1+n} k(t)^\alpha $$ Podemos trazar el gráfico:
La línea roja es la línea de 45 grados. La línea azul es $k(t+1) = \frac{1-\alpha}{1+n} k(t)^\alpha$ donde $0 < \alpha < 1$. Para todo k(0) > 0, k convergerá al estado estable $k^* = \frac{1-\alpha}{1+n} {k^*}^\alpha \Leftrightarrow k^* = [\frac{1-\alpha}{1+n}]^{\frac{1}{1-\alpha}}$. El equilibrio estacionario es globalmente estable.
