Primera subasta de precios (pago esperado)

Question

Estoy tratando de resolver el problema de la subasta de primer precio seguido.

El pdf del licitador es $$ f(v_i)= \begin{cases} \dfrac{1}{8}v_i, & \text{if} & 0\leq v_i\leq4\\ 0, & \text{if} & \text{otherwise}\\ \end{cases} $$

Los postores sólo conocen sus propios valores. Uno obtiene 0 si pierde la subasta y ( $v_i-b_i$ ) si gana el juego de la subasta.

La pregunta se refiere a la oferta simétrica de los oferentes bajo el equilibrio bayesiano de Nash y a la remuneración esperada de los oferentes y del vendedor.

Así, un licitador maximizará de la siguiente manera:

$$\max_{b_1}\,\,(v_1-b_1)\Pr(b_1>b_2)$$

Si tomamos la derivada con respecto a $b_1$ obtenemos

$$b(v_1)=\dfrac{\int v_1f(v_1)\,dv_1}{F(v_1)}$$

Sabemos por la pregunta $f(v_1)=\dfrac{1}{8}v_i$ y podemos encontrar $F(v_1)=\dfrac{1}{16}v_i^2$ . Si los reemplazamos, obtenemos

$$b(v_1)=\dfrac{\int v_1\dfrac{1}{8}v_1\,dv_1}{\dfrac{1}{16}v_1^2} = \dfrac{2}{3}v_1$$

Así que esta es la oferta del postor 1. Sin embargo, no pude encontrar el pago esperado del postor 1 y del postor 2. Mi pregunta es cómo puedo utilizar PDF o CDF para encontrar los pagos esperados de los licitadores.

Answer 1

Permítanme responder aquí reuniendo todas las pistas en los comentarios.

Has averiguado que la oferta de equilibrio para un tipo $v$ el licitador es $b(v) = \frac{2}{3}v$ .

Las ofertas son estrictamente crecientes en $v$ , por lo que el licitador $i$ gana siempre que $b(v_i) \geq b(v_j)$ o $v_i \geq v_j$ .

La retribución esperada para un tipo $v$ el licitador es así $$ (v -b(v))P(b_1 \geq b_2) $$ o $$ (v - \frac{2}{3}v)P(v \geq v_2) = \frac{1}{3}P(v \geq v_2) $$ Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que $v \geq v_2$ ?

Por definición del FCD $P(x \leq v) = F(v) = \int_0^v f(x) dx$

Así que $P(v_2 \leq v) = F(v)$ .

Así, la utilidad esperada para un tipo $v$ el postor es: $$ u(v) = \frac{v}{3} F(v) $$