Relajación de la noción de equilibrio de Nash

Question

Considere un juego con $N$ jugadores, cada uno indexado por $i=1,...,N$ . Cada jugador $i$ tiene que elegir un $J\times 1$ vector de acciones $a_i\equiv (a_{i,1},...,a_{i,J})$ donde cada $a_{i,j}$ puede ser cero o uno. El pago de cada jugador $i$ es $u_i(a_i, a_{-i})$ , donde $a_{-i}$ denota las acciones de los otros jugadores.

Como primera opción, me gustaría demostrar que este juego tiene un equilibrio de Nash de estrategia pura (PSNE). No soy capaz de hacerlo y tampoco quiero permitir estrategias mixtas. Como segunda opción, me gustaría considerar una noción más débil de equilibrio (aún, en estrategia pura) y mostrar su existencia.

En particular, por preferencia revelada, si $(a_1,...,a_N)$ es un PSNE, entonces se cumple lo siguiente:

$$ \forall i=1,...N \quad \forall j=1,...,J: \quad \text{if } a_{i,j}=1\text{, then } u_i(a_i, a_{-i})\geq u_i(a_{i, \{-j\}}, a_{-i})\\ \hspace{6.5cm} \text{if } a_{i,j}=0\text{, then } u_i(a_{i}, a_{-i})\geq u_i(a_{i,\{+j\}}, a_{-i})$$

donde $a_{i, \{-j\}}$ denota $a_i$ donde $a_{i,j}=1$ se sustituye por $a_{i,j}=0$ ; $a_{i, \{+j\}}$ denota $a_i$ donde $a_{i,j}=0$ se sustituye por $a_{i,j}=1$ .

Pregunta: ¿Existe alguna noción de equilibrio en estrategia pura tal que:

• es más débil que el PSNE

• implica las desigualdades de preferencia reveladas que se han comunicado anteriormente

• su existencia es típicamente más fácil de ser demostrada (y, si pudiera dar referencias sobre esto)

Answer 1

No, no lo hay. Consideremos un juego con dos jugadores, Ann y Bob. Ambos eligen vectores con entradas $0$ o $1$ de la forma $(a_1,a_2,\ldots,a_J)$ o $(b_1,b_2,\ldots,b_J)$ respectivamente. Si $\sum_{i=1}^J a_i+b_i$ es extraño, Ann gana y Bob pierde. Si el número es par, Ann pierde y Bob gana. Claramente, uno de ellos pierde en cada perfil de estrategias puras, y el perdedor puede ganar cambiando sólo una entrada de su vector elegido. Por lo tanto, no hay ningún perfil de estrategias puras en el que se cumplan las desigualdades de preferencia reveladas.