Proceso de ingresos acumulativos integrables

Question

Estoy tratando de leer Karatzas/Shreve "Methods of Mathematical Finance". En el capítulo 1, definición 5.5, un proceso de ingreso acumulativo $\Gamma(t)=\Gamma^{\mathrm{fv}}(t)+\Gamma^\mathrm{lm}(t)$ (un semimartingale bajo la medida original $P$ ) se define como integrable si $$ E_0 \int_0^T \frac{d \hat\Gamma_0^{\mathrm{fv}}(u)}{S_0(u)} < \infty, E_0 \int_0^T\frac{d \langle \Gamma_0^{\mathrm{lm}} \rangle (u)}{S_0^2(u)} < \infty $$ donde $E_0$ denota la expectativa con respecto a $d P_0 = Z_0\, dP, Z_0 =\exp \left[ - \int_0^t \theta'(s) dW(s) - \frac 1 2 \int_0^t \| \theta(s) \|^2 ds \right]$ y $\theta (\cdot )$ siendo el precio de mercado del proceso de riesgo.

$d \hat\Gamma^{\mathrm{fv}}(u) = \vert d \Gamma^{\mathrm{fv}} (u)\vert $ denota la variación absoluta de la parte de variación finita de $\Gamma$ . Además, los autores recuerdan que, con respecto a la nueva medida $P_0$ , $$ d \Gamma_0^{\mathrm{fv}}(t) = d \Gamma^{\mathrm{fv}}(t) - \theta'(t) d \langle \Gamma^{\mathrm{lm}}, W \rangle (t) . $$

Ahora los autores afirman en la Observación 5.8 que con $H_0(t ) := Z_0 (t) / S_0 (t)$ (el proceso de densidad de precios del estado), las condiciones de integrabilidad para el proceso de ingresos acumulados pueden reescribirse como $$ E \int_0^T H_0(u) d \hat\Gamma^{\mathrm{fv}}(u) < \infty , $$ si $\Gamma^{\mathrm{lm}}(\cdot ) \equiv 0$ .

No veo cómo esto es equivalente, y no sé si se supone que es equivalente a ambas condiciones o sólo a la primera. He intentado reescribir la condición propuesta. Si no me equivoco,

$$ E \int_0^T H_0(u) d \hat\Gamma^{\mathrm{fv}}(u) = E_0 \left[ \int_0^T \frac{\exp \left( \int_{(u,T]} \theta'(s) dW(s) + \frac 1 2 \int_{(u,T]} \| \theta(s) \|^2 d s \right) }{S_0(u)} d \hat\Gamma_0^{\mathrm{fv}}(u) \right] $$

¿Qué hago ahora con el numerador?

Answer 1

Esquema de la solución parcial: Sea $\pi_n := \lbrace 0 = \tau^n_0\leq \tau_1^n \leq \dots \leq \tau_{m_n}^n=T\rbrace$ sea una secuencia de particiones s.t. $\operatorname{mesh}(\pi_n)\to 0$ a.s. Tenemos el siguiente límite (estrictamente hablando, tenemos que elegir una subsecuencia, además algunos pasos necesitan justificación): $$ E \int_0^T \frac{Z_0(t)}{S_0(t)}\,d\widehat\Gamma^{\mathrm{fv}} (t) = \lim_{n\to \infty} E\sum_{i = 1}^{m_n - 1} \vert \widehat\Gamma^{\mathrm{fv}}\vert\,([\![\tau^n_{i}, \tau^n_{i+1} [\![) \, \frac{Z_0(\tau_i^n)}{S_0(\tau_i^n)} $$ $$ = \lim_{n\to \infty} \sum_{i = 1}^{m_n - 1} E \left[ \vert \widehat\Gamma^{\mathrm{fv}} \vert ([\![\tau^n_{i}, \tau^n_{i+1} [\![)\,\frac{Z_0(\tau_i^n)}{S_0(\tau_i^n)} \right] = \lim_{n\to \infty} \sum_i E_0 \left[ \vert \widehat\Gamma^{\mathrm{fv}} \vert ([\![\tau^n_{i}, \tau^n_{i+1} [\![)\,\frac{Z_0(\tau_i^n)}{Z_0(\tau_{i+1}^n)S_0(\tau_i^n)} \right] $$ $$ = \lim E_0 \sum \dots = E_0 \int_0^T \frac{d \widehat \Gamma^{\mathrm fv} (t)}{S_0(t)} $$ Ahora, $$ E_0 \int_0^T \frac{d \widehat \Gamma^{\mathrm fv} (t)}{S_0(t)}\leq E_0 \int_0^T \frac{d \widehat\Gamma_0^{\mathrm{fv}} (t)}{S_0(t)} +E_0 \int_0^T \vert \theta (t) \vert \frac{d \vert \langle \Gamma^{\mathrm{lm}}, W \rangle \vert }{S_0(t)} \leq E_0 \int_0^T \frac{d \widehat\Gamma_0^{\mathrm{fv}} (t)}{S_0(t)} +\left( \int_0^T \| \theta (t) \|^2\,dt \right)^{1/2} \left( E_0 \int_0^T \frac{d \langle \Gamma^{\mathrm{lm}} \rangle }{S_0(t)^2} \right)^{1/2} $$ En este caso, el último paso se desprende de la desigualdad de Kunita-Watanabe (seguida de Cauchy-Schwarz para $L^2 (P_0)$ ). De la misma manera, se puede mostrar $E_0 \int \dots \geq E_0 \int \dots - E_0 \int \dots \geq E_0 \int\dots - T^{1/2} (E_0 \int \dots )^{1/2}$ . Esto demuestra que si se asume $E_0 \int_0^T \frac{d \langle \Gamma^{\mathrm{lm}} \rangle }{S_0(t)^2} < \infty$ las otras dos condiciones son equivalentes. (EDIT: Obsérvese que $\langle \Gamma^{lm} \rangle = \langle \Gamma_0^{lm} \rangle$ )

Todavía estoy pensando en el resto.

Exijo que me devuelvan mi recompensa. ^^