¿Cómo calcular la dinámica de las existencias mediante el movimiento browniano geométrico?

Question

Me han planteado la siguiente pregunta:

Dado que $S_t$ sigue el Movimiento Browniano Geométrico, escriba la dinámica de $S_t$ y luego calcular la dinámica de $f(t,S_t) = e^{tS^{2}}$

Para la primera parte de la pregunta, tengo esta respuesta: $$dS_t = \mu S_tdt + \sigma S_t dWt$$

¿Es correcto?

Y para la segunda parte, sé que el precio $f(t,S_t)$ sigue el proceso $$df = (\frac{\partial f}{\partial t}+\mu S_t \frac{\partial f}{\partial S_t}+\frac{1}{2} \sigma ^2S_t\frac{\partial^2f}{\partial S_t^2})dt +\sigma S_t dWt$$

Tengo problemas para encontrar la respuesta utilizando este proceso y dada la información.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

La ecuación anterior debería decirse correctamente como sigue:

$df=\big(\frac{\partial f}{\partial t}+\mu S_t \frac{\partial f}{\partial S_t}+\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2\frac{\partial^2 f}{\partial S_t^2}\big)+\sigma S_t \frac{\partial f}{\partial S_t}dW$

Utilizando:

(a) $\frac{\partial f}{\partial t}=S_t^2f$

(b) $\frac{\partial f}{\partial S_t}=2S_ttf$

(c) $\frac{\partial^2 f}{\partial S_t^2}=2tf+4S_t^2t^2f$

La ecuación diferencial estocástica (SDF) que rige la dinámica de $f$ se convierte:

$\frac{df}{f}=dt \big(S_t^2+2 \mu S_t^2t+\sigma^2S_t^2t+2\sigma^2S_t^4t^2 \big)+2S_t^2t\sigma dW$