Para simplificar, consideremos un call/put americano con un precio de ejercicio continuamente reajustable. La hora actual es $t=0$ La madurez está en $t=T$ y el golpe inicial es $K_0$ . Consideramos que un "período reajustable" $t\in [T_0, T]\subset [0, T]$ . En este periodo reiniciable, si el precio de las acciones cae por debajo de $80\%$ (digamos) del strike actual, entonces el strike se restablece para que la opción se convierta en ATM. Formalmente, defina una relación $a>0$ como el piso de reposición ( $a=80\%$ en el ejemplo anterior), una secuencia de tiempos de parada $\tau_{1,2,\cdots}$ denotando posibles reinicios y una secuencia de golpes $K_{0,1,2,...}$ que denota los golpes iniciales y de reposición: $$ \begin{align} \tau_1 &:=\inf_{t>T_0}\{t\le T\mid S_t\le aK_0\},\quad K_1:=S_{\tau_1}I(\tau_1<\infty) + K_0I(\tau_1=\infty)\\ \tau_2 &:=\inf_{t>\tau_1}\{t\le T\mid S_t\le aK_1\},\quad K_2:=S_{\tau_2}I(\tau_2<\infty)+K_1I(\tau_2=\infty)\\ \end{align} $$ y así sucesivamente. (Sin embargo, si un número ilimitado de oportunidades de reajuste es demasiado complicado de analizar, podemos simplificar la situación a sólo una oportunidad de reinicio es decir, sólo consideramos el primer tiempo de reinicio $\tau_1$ y el primer golpe de reinicio $K_1$ .)
Quiero usar FD con el esquema Crank-Nicolson para resolver el problema. Supongamos que ya conozco todas las condiciones de contorno superior/inferior/terminal, y lo único que queda por hacer es retroceder en el tiempo. Para una opción americana normal, Crank-Nicolson puede implementarse fácilmente utilizando un SOR (Successive Over-Relaxation) modificado, véase Paul Wilmott Sobre las finanzas cuantitativas sección 78.9.2. La idea básica es simplemente comparar, en cada nodo que se calcula, el valor de la continuación contra el valor del ejercicio inmediato, y tomar el que sea mayor para ser el valor en este nodo.
Pero ahora, con la reposición continua de la huelga, comparar los valores en cada nodo ya no es tan sencillo (al menos en mi opinión). ¿Cuáles son los posibles enfoques para sortear esta dificultad? Gracias.
EDIT: sólo para aclarar, en realidad la restabilidad suele ser una a la derecha del emisor o del titular, en lugar de una obligación . Sin embargo, en ciertos casos, se puede determinar que si ambas partes son racionales, cuando el precio de las acciones cumpla ciertas condiciones, será óptimo que una de las partes (o ambas) ejerza el derecho. Por lo tanto, a efectos de la modelización, a veces es suficiente con suponer que cuando se cumplen ciertas condiciones, el reajuste no es sólo permitido pero efectivamente debe pasar.
