Mejor respuesta a una distribución estocásticamente más alta de ofertas.

Question

En Teoría de Subastas, Krishna escribe que:

un postor que enfrenta una distribución de ofertas estocásticamente mayor -en el sentido de la dominancia de la tasa de peligro inversa- ofertará más alto

(Esto sigue la demostración de la proposición 4.4 en la sección 'La Debilidad Conduce a la Agresión'.)

Supuestamente, esto es 'fácil de ver' - ¡sin embargo, tengo problemas para verlo! Estaría agradecido si alguien pudiera explicar por qué esto es cierto.

Mis esfuerzos (sin éxito) hasta ahora:

Si oferto $b$ cuando mi valoración es $v$, entonces (bajo neutralidad de riesgo) mi utilidad esperada es

$$(v - b)F(b)$$

donde $F(b)$ es la función de distribución acumulativa de todas las ofertas excepto la mía (y por lo tanto la probabilidad de que gane la subasta).

Maximizando mi utilidad esperada con respecto a $b$, obtenemos la condición de primer orden

$$(v - b)f(b) - F(b) = 0$$

Lo que implica que

$$b = v - \frac{F(b)}{f(b)}$$

Una distribución $G$ es estocásticamente mayor que una distribución $F$ en el sentido de la dominancia de la tasa de peligro inversa cuando, para cada $b$

$$\frac{g(b)}{G(b)} > \frac{f(b)}{F(b)}$$

Ahora, si $f(b)/F(b)$ y $g(b)/G(b)$ no dependen de $b$, es obvio a partir de la condición de primer orden que ofertaré más alto cuando enfrente una distribución de ofertas estocásticamente mayor. Sin embargo, no está claro para mí qué sucede en el caso general donde las 'tasas de peligro' pueden depender de $b$.

¡Muchas gracias de antemano!

Pregunta adicional: ¿Cuando mis ofertas aumentan, mi nueva distribución de ofertas 'dominará estocásticamente' a mi antigua distribución (en el sentido de la tasa de peligro inversa)?

Answer 1

Aquí hay un esbozo de una respuesta.

Como se señala en la pregunta, el $b$ óptimo debe satisfacer

$$b = v - \frac{F(b)}{f(b)}$$

Definamos la función $h(b) = v - F(b)/f(b)$. Nuestro problema es encontrar los puntos fijos de la función $h(b)$, es decir, los $b$ tales que

$$b = h(b)$$

¿Qué podemos decir sobre $h(b)$? Suponiendo que existe una puja óptima única, cruza la línea de 45 grados exactamente una vez. Además, asumiendo que las pujas no pueden ser negativas, es decir, $F(b) = 0$, se deduce que $h(0) = v$. Por lo tanto, asumiendo que $v > 0$, la función $h(b)$ comienza por encima de la línea de 45 grados.

Ahora, cuando las pujas del oponente son 'estocásticamente mayores', la función $h(b)$ se mueve hacia arriba en el sentido de que la 'nueva' función se encuentra en todas partes por encima de $h(b)$. Por lo tanto, parece razonablemente claro que el punto fijo único debe aumentar, aunque admito que carezco de una prueba concluyente de este hecho.

También tengo dudas sobre la pregunta de bonificación (si mis nuevas pujas parecen estocásticamente mayores en el sentido de la tasa de riesgo inversa).