Teorema de Girsanov para Múltiples Activos de Riesgo

Question

El teorema de Girsanov proporciona la transformación de medida de la medida de probabilidad P a Q tal que-

$dW_t^Q=dW_t^P+\lambda dt\implies \xi_tW_t^Q$ es una martingala bajo la medida P donde $\xi_t=e^{-\lambda W_t^P-\frac{\lambda^2}{2}t}$ y $W_t^X$ es el Proceso de Weiner bajo la medida de probabilidad $X$.

Para activos individuales esto puede ser utilizado para convertir su dinámica de la medida de probabilidad objetiva P a la medida de riesgo neutral Q.

$\frac{dS}{S}=\mu dt+\sigma dW^P=(\mu-\lambda\sigma)dt+\sigma dW^Q$.

Estableciendo $\lambda=\frac{\mu-r_f}{\sigma}=$ Ratio de Sharpe del activo S, obtenemos-

$\frac{dS}{S}=r_fdt+\sigma dW^Q$.

Supongamos que tenemos dos activos negociables en un mercado con la misma fuente de riesgo $W$.

$\frac{dS_1}{S_1}=\mu_1 dt+\sigma_1 dW^P$

$\frac{dS_2}{S_2}=\mu_2 dt+\sigma_2 dW^P$

¿Qué valor de $\lambda$ debería elegirse en este caso para realizar la transformación de P a Q? Si elegimos el Ratio de Sharpe del 1er activo, entonces terminaremos obteniendo-

$\frac{dS_1}{S_1}=r_f dt+\sigma_1 dW^Q$

$\frac{dS_2}{S_2}=(\mu_2-\sigma_2\frac{\mu_1-r_f}{\sigma_1}) dt+\sigma_2 dW^Q$

De manera similar para elegir el otro Ratio de Sharpe.

Parece intuitivo elegir el mayor de los dos ratios para realizar la transformación, pero eso resultaría en que el otro activo tenga un rendimiento esperado menor que $r_f$ en la medida de riesgo neutral. Esto implicaría que los participantes simplemente elijan nunca negociar ese activo. ¿Esta razón parece correcta?

Answer 1

Si dos activos tienen la misma fuente de riesgo $W^P$, entonces la condición de oportunidad de arbitraje implica que sus ratios de Sharpe son iguales, es decir, $\frac{\mu_1-r_f}{\sigma_1} = \frac{\mu_2-r_f}{\sigma_2}$. Este es un ejercicio de libro de texto y se puede demostrar fácilmente construyendo una cartera libre de riesgo con una acción del primer activo y en corto $\frac{S_1 \sigma_1}{S_2 \sigma_2}$ acciones del segundo activo.