¿Es posible modelar las cláusulas dependientes de la trayectoria mediante métodos de diferencias finitas?

Question

Estoy tratando de construir un cotizador de bonos convertibles. En mi caso, un bono convertible es un derivado complejo con cláusulas de compra, venta y restablecimiento del precio de conversión, y todas las cláusulas se activan de forma dependiente de la trayectoria. Por ejemplo, la cláusula de compra podría ser:

En 30 días consecutivos de negociación, si el precio de cierre de las acciones es mayor que el 130% del precio de conversión en 15 días de negociación, el emisor tiene la opción de rescatar el bono.

En estos momentos sigo buscando el modelo adecuado. Teniendo en cuenta las dependencias del camino, veo que Monte Carlo es en cierto modo el único camino a seguir. Y teniendo en cuenta la capacidad de llamar/poner/reiniciar que son de naturaleza americana, LSMC (Least Square Monte Carlo) parece ser la única opción.

Sin embargo, al no ser determinista y ser bastante engorroso, el LSMC debería ser el último recurso. Si es posible, preferiría métodos más sencillos, como los métodos de diferencias finitas y los métodos de árbol, pero ninguno de ellos parece capaz de tratar las dependencias del camino que conllevan las cláusulas de llamada/posición/reinicio.

¿Hay alguna manera de acomodar de alguna manera tales dependencias de la ruta en los modelos de árbol/modelos de diferencias finitas en lugar de LSMC? Gracias.

Answer 1

Si se pregunta si es posible fijar el precio de las opciones americanas dependientes de la trayectoria en los modelos basados en árboles, la respuesta corta es que sí. Simplemente construya su árbol/rejilla y evalúe las reglas en cada nodo (de forma análoga a lo que haría en sus simulaciones de MC). Estas reglas pueden ser arbitrariamente complejas. Sin embargo, tenga en cuenta que sólo puede evaluarlas en un conjunto discreto de momentos (al igual que sólo puede observar los procesos estocásticos en un conjunto discreto de momentos en las simulaciones MC).

Le recomiendo que empiece por echar un vistazo a los métodos de retícula bi y trinomial para la fijación de precios de las opciones dependientes de la trayectoria. Puede empezar estudiando cómo se implementan para derivados simples dependientes de la trayectoria, como las opciones asiáticas, para las que hay mucha literatura, antes de pasar a productos más complejos.

Answer 2

El enfoque habitual para tratar la dependencia del camino en los solucionadores de diferencias finitas/lattices es capturar la dependencia del camino a través de una o más variables auxiliares que hacen que el problema no dependa del camino en el espacio aumentado, y discretizar a lo largo de estas variables auxiliares.

Por ejemplo, esto es fácil de hacer para las opciones asiáticas donde la dependencia de la ruta se captura a través de $M_t = $ el precio medio de las acciones, con una dinámica $M_{t+1} = (t M_t + S_{t+1})/(t+1)$

En tu caso, una cláusula parisina con 15 de 30 días consecutivos por encima de 130, es un poco más complicado, y si no me equivoco necesitarías 29 variables auxiliares booleanas para llevar la cuenta de si la acción estuvo o no por encima de 130 en cada uno de los últimos 29 días, por lo que es una dimensionalidad añadida de $2^{29}$ lo que hace que el problema sea inabordable.

Sin embargo, puede considerar el caso de 15 de 15 días consecutivos por encima de 130, en cuyo caso sólo necesita una variable auxiliar $N_t = $ número de días consecutivos que el precio de la acción ha estado por encima de 130. A continuación, la dinámica para $N_t$ es \begin {eqnarray*} N_{t+1} &=& N_t + 1 \text { si } S_{t+1} \geq 130 \\ N_{t+1} &=& 0 \text { si } S_{t+1} < 130 \\ \end {eqnarray*}

En cualquier caso, ya que con los bajos tipos de interés $\mathbb{E}_t[S_{t+n}] \approx S_t$ cuando no hay dividendos, visto desde el principio la fijación de precios con una cláusula de 15 días de 30 días consecutivos o simplemente con una cláusula de un solo toque no debería hacer mucha diferencia. Realmente empieza a importar una vez que te acercas a 130 (y en particular si has empezado a acumular días por encima de 130).

Espero que sea de ayuda.

Editar: también se puede observar que un toque da un precio de subreplicación (más opcionalidad para el emisor que la cláusula real de 15/30) y 15/15 da un precio de superreplicación (menos opcionalidad para el emisor que la cláusula de 15/30), por lo que el verdadero precio está entre.