Teorema de la imposibilidad de Arrow y esquemas de votación

Question

El teorema de la imposibilidad de Arrow establece que no hay un procedimiento para agregar ordenamientos de preferencia individual en un ordenamiento de preferencia colectivo que satisfaga ciertos axiomas aparentemente deseables. A menudo se ha interpretado esto como que no hay tal cosa como un buen sistema de votación. Sin embargo, los sistemas de votación reales no suelen intentar generar un orden social (completo). El objetivo, más bien, es simplemente seleccionar un candidato que gobernará, y la tarea de clasificar a los demás, aunque tal vez interesante, no es de importancia práctica inmediata. Esto plantea una pregunta simple: ¿se extiende el resultado de Arrow a los procedimientos de agregación de preferencias que eligen un solo candidato basándose en un perfil de preferencias individuales?

Para hacer esto más preciso, permítanme (informalmente) reformular los axiomas de Arrow adaptados al problema en cuestión:

Dominio irrestricto. El procedimiento elige al mejor candidato para cada lista posible de ordenamientos individuales.

Debilidad de Pareto. Si todos los votantes prefieren al candidato A sobre el candidato B, entonces no se elige al candidato B.

No-dictadura. No hay ningún votante que solo determine qué candidato es elegido (independientemente de los ordenamientos de preferencia de los otros votantes).

Independencia de alternativas irrelevantes. Si el candidato A es elegido cuando se le opone a un conjunto de candidatos rivales, entonces A seguirá siendo elegido cuando se le oponga a algún subconjunto de este conjunto de candidatos rivales.

(Nótese que el axioma de transitividad no puede, al parecer, adaptarse a este contexto.)

Pregunta: ¿existe un sistema de votación que satisfaga todos los axiomas mencionados anteriormente?

Answer 1

Los axiomas en el teorema de imposibilidad de Arrow (referente a las funciones de elección social) se refieren a los perfiles de preferencia, por lo que debería existir un teorema análogo sobre las funciones de elección social. El axioma de IIA que mencionas hace referencia al conjunto de alternativas, no al perfil de preferencias.

El Capítulo 21.E en MWG demuestra un resultado para funciones de elección social análogo al resultado de imposibilidad de Arrow para funciones de elección social. Ahí, el equivalente de IIA es una condición de monotonicidad, que requiere que la función de elección social sea invariante respecto a cambios en el perfil de preferencias que solo afecta al conjunto de contorno inferior de la alternativa elegida actualmente.

De la misma manera que IIA requiere que la clasificación de alternativas de una función de bienestar social para $ x $ y $ y $ permanezca inalterada cuando sus clasificaciones relativas a través de dos perfiles de preferencias no cambian, la monotonicidad requiere que una función de bienestar social seleccione la misma alternativa $ x $ siempre y cuando su posición relativa frente a las otras alternativas permanezca la misma en dos perfiles de preferencias.

Formalmente, la monotonicidad se puede definir de la siguiente manera:

Supongamos que $ f(\succsim_1,\dots,\succsim_I) = x $ . Si para todo individuo $ i $ y todo $ y \ne x $ , un perfil de preferencias diferente $ (\succsim'_1,\dots,\succsim'_I) $ es tal que $ x \succsim_i y \Rightarrow x \succsim_i' y $ , entonces $ f(\succsim'_1,\dots,\succsim'_I) = x $ .

Luego, la Proposición 21.E.1 de MWG dice:

Supongamos que el número de alternativas es al menos tres y que el dominio de perfiles de preferencias admisibles es uno de los siguientes: $ \mathcal A = \mathbb R^I $ o $ \mathcal A = \mathcal P^I $ . Entonces, toda función de elección social débilmente Paretiana y monótona $ f:\mathcal A\to X $ es dictatorial.

Answer 2

La respuesta es no en el siguiente sentido.

Supongamos que hay $N = \{1,\dots,n\}$ individuos, y $M$ alternativas, donde $|M|\geq 3$.

Sea $\mathcal{P}$ el espacio de preferencias estrictas sobre $M$, cada individuo tiene preferencias $P_i \in \mathcal{P}$, y sea $P = \{P_1,\dots,P_n\}$ el perfil de preferencias.

Buscamos una función de elección social $f:\mathcal{P}^N \rightarrow M$.

1. $f$ satisface Unanimidad (Pareto débil) si todos los individuos clasifican a $a$ en primer lugar, entonces $f(P) = a$.

2. $f$ es a prueba de estrategia si es una estrategia dominante decir la verdad sobre tu preferencia.

3. $f$ es Dictatorial si existe un individuo $i$ tal que siempre que $f(P) = a$, entonces $a$ es clasificado en primer lugar según $i$.

Teorema (Gibbard–Satterthwaite) Una función de elección social $f$ es Unánime y a prueba de estrategia si y solo si es Dictatorial.