Si los jugadores son simétricos y el núcleo no es vacío, entonces $x_i = v(N)/n$ para todos $i$ es un elemento del núcleo

Question

Considera un juego de TU $\langle N,v \rangle$ con $N = \{1,2,\ldots,n\}$ siendo el conjunto de jugadores y $v : 2^N \to \mathbb R$ , $v(\emptyset) = 0$ la función característica. El núcleo de $v$ se define por asignaciones no dominadas $x \in \mathbb R^n$ \begin {align} \mathcal C(v) = \left\ {x \in \mathbb R^n ~ \bigg | ~ \sum_ {i \in S}{x_i} \geq v(S) ~ \forall S \subseteq N \right\ }. \end {align} Dejemos que $m_i(S) = v(S \cup \{i\}) - v(S)$ denotan la contribución marginal de $i$ a la coalición $S$ . Decimos que los jugadores son simétricos si $m_i(S) = m_j(S)$ para todos $i,j \in N$ y $S \subset N$ . La contribución marginal de cualquier agente a cualquier coalición es, por tanto, idéntica.

Me pregunto si la siguiente proposición es cierta y cómo se demuestra formalmente.

Propuesta: Si los jugadores son simétricos y el núcleo no está vacío $\mathcal C(v) \neq \emptyset$ Entonces la división equitativa del valor de la gran coalición es un elemento del núcleo $(v(N)/n,\ldots,v(N)/n) \in \mathcal C(v)$ .

Answer 1

La asignación de centros $z_{i}:=(v(N)/|N|)$ para todos $i \in N$ está en el núcleo del juego simétrico $v$ , siempre que $z(S) = \sum_{i \in S} z_{i} \ge v(S) $ es válida para todos los $S \subseteq N$ . Ahora bien, si $v(N)/|N| \ge v(S)/|S|$ para todos $S \subseteq N$ , entonces se sostiene $z(S) = \sum_{i \in S} z_{i} = |S|\cdot v(N)/|N| \ge v(S)$ . Así, $\mathbf{z} \in C(v)$ .

Observamos que para un juego simétrico $v$ el núcleo es no vacío si $v(N)/|N| \ge v(S)/S$ es válida para todos los $S \subseteq N$ . En caso contrario, el núcleo está vacío.