Así pues, permítanme comenzar con un descargo de responsabilidad. En otro lugar, expongo tres argumentos matemáticos que incidirían en esta cuestión de una manera que no has preguntado, pero que creo que debo revelar.
La primera es que, dado que los rendimientos son una relación de precios por una relación de cantidades más dividendos ajustados por quiebras y fusiones, los rendimientos no pueden tener una media poblacional, aunque sean estacionarios. Eso implicaría que Fama-French no puede ser válido. No tiene sentido, matemáticamente. Esto también es cierto para el CAPM que intenta falsificar.
La segunda es que como las probabilidades frecuenciales son incoherente en el sentido de Finetti, cualquier modelo construido sobre axiomas frecuentistas forzará la existencia de oportunidades de arbitraje creadas por los cálculos, derrotando una suposición de ausencia de arbitraje.
El tercer argumento es que el cálculo en el que se basa el CAPM supone que todos los parámetros son conocidos y que nadie hace estimaciones. Para algunos modelos científicos, la diferencia entre ambos es insignificante. Para las finanzas, la suposición es catastrófica porque en 1958 se demostró que modelos como el CAPM o el Fama-French no pueden tener una solución dentro de los axiomas.
Supongamos que nada de lo anterior es cierto. Preocupémonos también por la validez del CAPM. Supongamos también que tenemos que hacer estimaciones para todos los valores de los parámetros.
El CAPM se basa en axiomas frecuentistas, por lo que utilizaremos la teoría de la decisión frecuentista para probarlo.
En la teoría de la decisión frecuentista, afirmamos que una hipótesis nula es verdadera y elegimos un valor de corte para la nula como $p<.05$ o algún otro valor. Aunque asumo que lo sabes, también incide en la discusión, así que lo hago explícito.
La única predicción real en el CAPM es que cualquier intercepción será cero. Desgraciadamente, por diversas razones estadísticas, esa no es realmente una hipótesis comprobable.
Sin embargo, implícitamente, si toda la información está contenida en $\beta$ entonces el efecto de todos los demás factores posibles debería ser nulo, independientemente de cómo se construyan. El nulo de interés es que $\beta_{SML}=0$ y $\beta_{HML}=0$ . Si se falsifica la nula, entonces se falsifica el CAPM. Hasta ahora, sólo estamos dentro de los métodos inferenciales estándar, pero vamos a adentrarnos en la teoría de la decisión.
Si ambos $\hat{\beta}$ están en la región de aceptación, entonces la teoría frecuencial de la decisión requiere que se comporte como si el nulo es verdadero. En ese caso, el Modelo de Valoración de Activos de Capital debe ser tratado como si cierto. Tenga en cuenta que la teoría frecuencial de la decisión no afirma la verdad o la falsedad del nulo. Dice que debe comportarse como si fuera verdad.
Si cualquiera de los dos $\hat{\beta}$ están en la región de rechazo, entonces deben comportarse como si el CAPM es falso. Si se detuviera ahí, entonces tendría la inferencia tal y como la entendía Ronald Fisher. Falsificar el nulo no tiene más información que la de que el nulo es probablemente falso. Nada más. Fisher no tenía una hipótesis alternativa como idea.
Sin embargo, como se controlan las frecuencias con el nulo, se establece un corte y, presumiblemente, se controla la potencia, se puede tomar una decisión más firme. Puede decidir rechazar el nulo y comportarse como si la alternativa que ha especificado fuera verdadera.
Fama y French se limitaron a rechazar la nulidad. El CAPM está falsificado. Sin embargo, el campo dio el siguiente paso y tomó la alternativa como si fuera cierta.
Su pregunta ha dado con uno de los problemas de Fama French. No tiene ninguna razón económica dentro de las finanzas de la media-varianza para que sea cierto. Puede crear resultados contraintuitivos debido a la suposición de independencia de los factores en los mínimos cuadrados ordinarios.
Tampoco tiene santidad en su estructura. ¿Por qué crear los cortes cuantitativos donde estaban? ¿El modelo no bajó de la montaña y no fue inscrito en piedra? Se hizo a partir de opciones que eran prácticas. No hay ninguna razón para creer que esté asociado a la función de generación de datos.
La debilidad de la teoría frecuencial de la decisión es que cuando su alternativa carece de una base teórica, es la "a partir de ahora" mejor modelo, pero no tiene ninguna validez intrínseca.
La dificultad viene dada por la ausencia de una opción binaria. El modelo Fama-French no es la única forma posible de especificar una alternativa al CAPM. Si lo fuera, sería la única alternativa y todo estaría bien.
Para ver un ejemplo sencillo de esto, considere un dado cargado que sale par 2/5 partes, 3/5 partes o 4/5 partes de las veces. Imagina que has hecho 13 tiradas de dados. Si elige 2/5 como nulo y se rechaza, el estimador de máxima verosimilitud no puede asignarse a ninguna de las alternativas, ya que 5 no entra en 13. La nulidad también se rechaza a cero. Por supuesto, si se observa un cero, la carga más probable es 2/5. Esa carga se excluye ya que se rechaza.
Los métodos de hipótesis nula tienen problemas cuando no se puede pensar en términos de una elección binaria. No hay nada especial en $H_0:\theta=2/5$ como podría haber elegido $H_0:\theta=3/5$ o $H_0:\theta=4/5$ como igualmente válidos. Los 2/5 no permiten distinguir entre la validez de 3/5 o 4/5.
Fama-French era sólo una de las infinitas construcciones alternativas posibles.
