¿Hay una forma rápida de ver por qué esta afirmación $C(S, t)$ en $S$ no satisface la EDP de Black-Scholes?

Question

Estoy estudiando por mi cuenta para un examen actuarial sobre economía financiera y me encontré con el siguiente problema de examen práctico.

Un problema de examen debería tardar normalmente entre 5 y 6 minutos en completarse, así que me pregunto si hay una forma "rápida" de confirmar que la opción de respuesta (D) no satisface la EDP de Black-Scholes.

Suponiendo por el momento que $C(S, t)$ no paga dividendos (lo que, en mi opinión, no puede suponerse sólo con la información proporcionada), la PDE implica que $r = 0.04$ , $\delta = 0.02$ y $\sigma = 0.3$ .

Así que yo pensaría que cualquier activo que tenga estos parámetros satisfará la EDP. Vamos a comprobarlo:

(A) es el precio de un bono sin riesgo con valor de vencimiento 1.

(B) es el precio de una opción de compra de efectivo o nada que paga 1 cuando el precio de la acción está por encima de 100.

(C) es el precio de una opción de venta de efectivo o nada que paga 1 cuando la acción está por debajo de 100.

(E) es el precio de una opción de venta de activo o nada que paga la acción cuando el precio de la acción está por debajo de 100.

Por eliminación, eso deja a (D) como la afirmación que no satisface la PDE.

Pero, ¿y si quisiera demostrar que (D) no puede satisfacer la EDP? Sólo se me ocurre encontrar $C_s$ , $C_{ss}$ y $C_t$ . Sin embargo, esto sería un lío ya que $C(S, t)$ requeriría diferenciar $N(d_1)$ . ¿Hay una forma más rápida o mejor de convencerme de que (D) no puede satisfacer la ecuación?

Answer 1

Ya ha asociado la función de valoración ins A, B, C y E con los productos correspondientes. Para excluir explícitamente D, no tienes que calcular todas las derivadas, sino que basta con observar que

\begin {eqnarray} C_S & = & e^{-0.02 (T - t)} \mathcal {N}' \left ( d_1 \right ) \frac { \partial d_1}{ \partial S} \\ C_t & = & 0,02 \underbrace {e^{-0,02 (T - t)} \mathcal {N} \left ( d_1 \right )}_{=C(S, t)} + e^{-0.02 (T - t)} \mathcal {N}' \left ( d_1 \right ) \frac { \partial d_1}{ \partial t}. \end {eqnarray}

A partir de la expresión para $C_S$ se puede deducir que la expresión para $C_{SS}$ no contiene un $C(S, t)$ -término. Por lo tanto, se puede concluir que el $C(S, t)$ -en la EDP que viene de $C_t$ y la r.h.s. no se anulan entre sí y ya está.