¿Demuestra que TIR(A) < TIR(A+B) < TIR(B)? Es decir, que la TIR de dos flujos de caja juntos debe estar dentro del rango de la TIR de los dos flujos de caja?

Question

La pregunta

La TIR de dos conjuntos de flujos de caja no es (necesariamente) la media ponderada de cada conjunto de flujos de caja. Por ejemplo, si

A = (-100,110)
B = (-80,100)
C = (-180,210)

entonces

IRR(A) = 10%
IRR(B) = 25%
IRR(C) = 16.666%
unweighted average IRR = 17.5%
weighted average IRR = 20%

Sin embargo, ¿existe una prueba matemática de que la TIR de la suma debe estar dentro del rango de las dos TIR, es decir, que

IRR(A) <= IRR(A+B) <= IRR(B) ?

Intuitivamente, entiendo el concepto, pero ¿existe una prueba matemática genérica, que se mantenga independientemente de las partidas del flujo de caja, es decir, independientemente del grado de los polinomios?

Hubo un debate aquí pero no estoy seguro de que responda completamente a la pregunta (o, si lo hace, no estoy seguro de haberlo entendido del todo), especialmente para un caso general, independientemente del grado del polinomio.

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Los antecedentes

Nota: el resto de lo que sigue es sólo para el color.

¿Por qué necesito esto? Porque necesito demostrar que la TIR de un proyecto + el mismo proyecto que comienza unos periodos más tarde es la misma que la TIR del proyecto único Por ejemplo:

IRR(-100,0,121) = IRR(-100,0,121,-100,0,121)

Vemos que

IRR(-100,0,121) = 10%

Si los flujos de caja comienzan algunos períodos más tarde, se puede demostrar que la TIR sigue siendo la misma:

IRR(0,0,0,-100,0,121) = 10%

La TIR de la suma sigue siendo la misma en este ejemplo,

IRR(-100,0,121,-100,0,121)= 10%

pero ¿hay una prueba matemática para esto? Demostrando que

IRR(A) <= IRR(A+B) <= IRR(B)

lo demostraría, porque retrasar los flujos de caja no afecta a las TIR. Demostrarlo es muy sencillo. Digamos que el flujo de caja es a lo largo de 3 períodos, y la TIR es la i que resuelve:

$a + \frac{b}{(1+i)} + \frac{c}{(1+i)^2} = 0$

Retrasarlo un periodo significa simplemente dividir cada elemento por $(1+i)$ :

$0 + \frac{a}{(1+i)} + \frac{b}{(1+i)^2} + \frac{c}{(1+i)^3} = 0$

que, por supuesto, se puede simplificar.

Así que, para recapitular, sabemos que

IRR(A) = x
IRR(0,0,A) = x

si podemos demostrar que TIR(A) <= TIR(A+B) <= TIR(B) entonces se deduce que

IRR(A,0,A) = x , too

Answer 1

Otra forma de escribir:

TIR(A) = x y TIR(0,0,A) = x es:

PV(A;x)=0 y PV(0,0,A;x)=0

donde PV= valor actual, y x es la tasa de descuento. Como estamos utilizando la misma tasa de descuento x, podemos simplemente sumarlas:

PV(A,0,A;x)=0 lo que significa que TIR(A,0,A) = x

¿Está claro?