Cálculo del precio de los futuros

Question

Considere un mundo como el siguiente:

$$\frac{dB}{B} = r_tdt$$ $$\frac{dS}{S} = r_tdt - 0.05dW_1 + 0.5dW_2$$ $$dr_t = 0.2 dW_1$$

donde $r_0=0$ . Los procesos de Wiener $W_1$ y $W_2$ son independientes. El precio de cualquier activo en este mundo es $$P_0 = E_0\left[\exp\left(-\int_0^T r_t dt\right)P_T\right ] $$

Calcule el precio de un contrato de futuros a dos años sobre $S$ .

Mis preguntas:

El precio de los futuros viene dado simplemente por: $E_0\left[S_T\right ]$

Pero tengo problemas para calcular la expresión anterior para el precio de los futuros.

Answer 1

Así que lo primero es tener en cuenta que el uso de Fubini (ver aquí ) $$ \int_0^T r(t) dt = \int_0^T \int_0^t dr(u) dt = \int_0^T \int_u^T dt dr(u) = 0.2 \int_0^T (T-u) dW_1(u) $$ tal que $$ \int_0^T r(t) dt \sim \mathcal{N}\left( 0, 0.2^2 \, \int_0^T (T-u)^2 du = 0.2^2 \frac{T^3}{3} \right) $$ A partir de esta observación, en la expresión $$ S_T = S_0\exp\left(- (0.05^2+0.5^2)\frac{T}{2}\right) \exp\left( \int_0^T r_t dt - 0.05W_{1}(T) + 0.5W_{2}(T) \right) $$ El último término del lado derecho es una lognormal con media $$ \mu = E_0\left[ \int_0^T r_t dt - 0.05W_1(T) + 0.5W_2(T) \right] = 0 $$ y la varianza (isomería de Itô + independencia de $W_1$ y $W_2$ ) \begin {align} \sigma ^2 &= \Bbb {V}_0 \left [ \int_0 ^T (0,2(T-u)-0,05) dW_1(u) + 0,5W_2(T) \right ] \\ &= \int_0 ^T (0,2(T-u)-0,05)^2 du + 0,5^2 T \\ &= 0.2^2 \frac {T^3}{3} + 0,01 T + 0,05^2 T + 0,5^2 T \end {align} Ahora usando el hecho de que la expectativa de una lognormal con parámetros $(\mu,\sigma^2)$ es $\exp(\mu+\sigma^2/2)$ se obtiene \begin {align} F(0,T) &= \Bbb {E}_0[S_T] \\ &= S_0 \exp\left (- (0.05^2+0.5^2) \frac {T}{2} \right ) \exp\left ( 0.2^2 \frac {T^3}{6} + (0.01 + 0.05^2 + 0.5^2) \frac {T}{2} \right ) \\ &= S_0 \exp\left (0.005 T + 0.04 \frac {T^3}{6} \right ) \end {align}