Hay dos casos en los que se permiten las ventas en corto: Con préstamos sin riesgo y sin ellos. Como se menciona en los comentarios, sólo hay que resolver un sistema lineal.
Con los préstamos y empréstitos sin riesgo
La existencia de un tipo de interés activo y pasivo sin riesgo $r_f$ implica que hay una única cartera de activos de riesgo, que es preferida a todas las demás carteras. Se quiere maximizar la función
$$\theta = \frac{\bar{R}_P - R_f}{\sigma_p}$$
sujeto a la restricción $\sum_{i=1}^N X_i = 1$ .
$\bar{R}_P$ denota la rentabilidad media de la cartera de $N$ activos $i$ con pesos $X_i$ y $\sigma_P$ es la desviación estándar de los rendimientos de la cartera. A partir de la definición de rentabilidad de la cartera, $R_f = 1 \cdot R_f = \left( \sum_{i=1}^N X_i \right) \cdot R_f = \sum_{i=1}^N (X_iR_f)$ y su desviación estándar, se obtiene
$$\theta = \frac{\sum_{i=1}^N X_i(\bar{R}_i - R_f)}{\left[ \sum_{i=1}^N (X_i^2 \sigma_i^2) + \sum_{i=1}^N \sum_{\substack{j=1 \\ j\neq i}}^N X_iX_j\sigma_{ij} \right]^{\frac{1}{2}}}$$ donde $\sigma{ij}$ es la covarianza de los rendimientos de los activos $r_i$ y $r_j$ .
Es un simple problema de maximización, se toma la derivada con respecto a cada variable y se hace igual a cero. Se obtiene un sistema de ecuaciones:
- $\frac{d\theta}{dX_1}=0$
- $\frac{d\theta}{dX_2}=0$
- $\frac{d\theta}{dX_i}=0$
- ...
En general: $$\frac{d\theta}{dX_i}=-(\lambda X_1\sigma_{1i}+\lambda X_2\sigma_{2i}+ ... + \lambda X_i\sigma_{i}^2+ ...+\lambda X_{N-1}\sigma_{N-1,i}+\lambda X_{N}\sigma_{Ni})+\bar{R}_i - R_f = 0$$
con
$$\lambda = \frac{\sum_{i=1}^N X_i(\bar{R}_i - R_f)}{ \sum_{i=1}^N (X_i^2 \sigma_i^2) + \sum_{i=1}^N \sum_{\substack{j=1 \\ j\neq i}}^N X_iX_j\sigma_{ij} }$$
Después de definir una nueva variable $Z_k = \lambda X_k$ la formulación se simplifica al sistema (llamémoslo A):
$$\bar{R}_1 - R_f = Z_1\sigma_1^2 + Z_2 \sigma_{12}+Z_3 \sigma_{13}+Z_N \sigma_{1N}$$ $$\bar{R}_2 - R_f = Z_1\sigma_{12} + Z_2 \sigma_2^2+Z_3 \sigma_{23}+Z_N \sigma_{2N}$$ $$...$$ $$\bar{R}_N - R_f = Z_1\sigma_{1N} + Z_2 \sigma_{2N}+Z_3 \sigma_{3N}+Z_N \sigma_N^2$$
El $Z_N$ son proporcionales a la cantidad óptima a invertir en cada valor. En primer lugar, resolvemos el sistema anterior para $Z_N$ entonces el peso óptimo $X_k$ para cada activo $k$ es
$$X_k = \frac{Z_k}{\sum_{i=1}^N Z_i}$$
Sin préstamos y empréstitos sin riesgo
Si un tipo sin riesgo $R_f$ no está disponible, hay que modificar la solución anterior. Supongamos que $R_f$ existe y encontrar la cartera óptima con el método anterior. A continuación, suponga una $R_f$ y encontrar la cartera óptima que corresponde a esta tasa sin riesgo ligeramente modificada. Continúe cambiando la tasa asumida hasta que se determine la frontera eficiente completa.
Consideremos de nuevo el sistema lineal A. Sin embargo, no tenemos que sustituir en un valor particular de $R_f$ . Podemos simplemente dejar $R_f$ como parámetro general y resolver para $Z_k$ en términos de $R_f$ . Esto da lugar a una solución de la forma
$$Z_k = C_{0k} + C_{1k}R_f$$
donde $C_{0k}$ y $C_{1k}$ son constantes. Tienen un valor diferente para cada activo $k$ pero ese valor no cambia con los cambios en $R_f$ . Una vez que el $Z_k$ se determinan como funciones de $R_f$ podríamos variar $R_f$ para determinar la cantidad a invertir en cada valor en varios puntos de la frontera eficiente.
Observación adicional
Lintner(1965) tiene una definición alternativa de las ventas al descubierto que es más realista. Asume correctamente que cuando un inversor vende acciones en corto, no se recibe dinero en efectivo, sino que se mantiene como garantía. Además, el inversor debe aportar una cantidad adicional de efectivo igual a la cantidad de acciones que vende en corto. En resumen, el problema es el siguiente $\sum_{i=1}^N \left| X_i \right| = 1$ .
Referencia
Elton/Gruber/Brown/Götzmann (2014) , Teoría moderna de la cartera y análisis de la inversión , ed. 9, John Wiley & Sons.
