¿Cómo satisface esta función de demanda el axioma de debilidad si no cumple las condiciones necesarias y suficientes?

Question

Dejemos que $x_k = \frac{w}{\sum{p_l}}$ para $k = 1...L$ sea la función de demanda.

Esta función de demanda sí satisface el axioma débil y esto se puede demostrar de forma sencilla.

La matriz slutsky es una $L \times L$ matriz de $0$ para cualquier (p,w). En Teoría Microeconómica de Mas-Colell página 35 y también en esta publicación - https://www.jstor.org/stable/1911539 La condición necesaria y suficiente para que se cumpla el axioma débil es que (i) S(p,w) sea semidefinido negativo y (ii) $v^TS(p,w)v < 0 $ siempre que $v \neq \alpha p$ para cualquier escalar $\alpha$ , $v \neq 0$ .

Es evidente que (i) se satisface para esta función de demanda y la matriz de Slutsky. Sin embargo, consideremos el vector de precios $[1,1,1,...1]$ . La matriz de Slutsky sigue siendo la matriz de ceros. Consideremos $v=[2,1,1...1]$ . $v^TS(p,w)v = 0$ que no es inferior a 0. Obsérvese que $v$ no es proporcional a $p$ . Esto parece violar (ii). ¿En qué me he equivocado?

Este es el ejercicio 2.F.17 de la teoría microeconómica de Mas-Colell.

Answer 1

Su resultado de equivalencia es incorrecto. Los resultados correctos son:

1. Si $x(p,w)$ satisface la ley de Walras, la homogeneidad de grado cero y el axioma débil, entonces la matriz de Slutsky es semidefinida negativa, es decir, $v \cdot S(p,w) v \leq 0$ para cualquier vector $v$ .
2. Si la matriz de Slutsky es negativa definida para todos los vectores $v$ que no son proporcionales a $p$ es decir, si $v \cdot S(p,w) v < 0$ para tales vectores $v$ y si $x(p,w)$ satisface la ley de Walras y la homogeneidad de grado cero, entonces satisface el axioma débil.

Por lo tanto, no hay ninguna contradicción en el hecho de que su función de demanda satisfaga el axioma débil mientras su matriz de Slutsky es sólo semidefinida negativa (y no definida negativa).