Máxima Verosimilitud utilizando un filtro de Kalman para un modelo de dos factores

Question

Estoy tratando de implementar un Filtro de Kalman para la estimación de parámetros de un modelo de dos factores lineal y gaussiano en Matlab. (Modelo Schwartz Smith para precios de materias primas) En otras palabras: intento calcular la log-verosimilitud de los parámetros.

Mi modelo:

$X_t = A X_{t-1} + \epsilon_X$ , con X de dos dimensiones.

$Y_t = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}^T X_t + \epsilon_Y$ , con Y de una dimensión.

$A$ es invariante en el tiempo y solo depende de los parámetros $\theta$, los cuales me gustaría determinar.

Mi pregunta:

¿Cuál es la varianza de $\epsilon_Y$? Sé que normalmente representa el ruido del proceso de medición, pero ¿no sé cuál sería el equivalente en un contexto económico?

Logré implementar el filtro y los resultados al experimentar con la varianza son (media = 0):

• Para una alta varianza: Alta log-verosimilitud en áreas no razonables lejos de los valores reales.
• ¡Para una varianza muy (!) pequeña: Resultados razonables cerca de los valores reales, pero verosimilitudes extremadamente pequeñas alrededor de $-10^{12}$. Me temo que esto causará problemas numéricos en la próxima estimación de máxima verosimilitud. (Planeo usar Metropolis Hastings)

¡Cualquier ayuda sería apreciada! ¡Gracias!

Answer 1

Por lo general, las varianzas $var(e_x), var(e_y)$ se calibran por máxima verosimilitud a partir de datos similares a como deseas calibrar tus parámetros $\theta$.

La relación $var(e_x)/var(e_y)$ te indica cuáles son los cambios en tu serie de tiempo.

• $var(e_x)/var(e_y)$ es pequeña: los cambios en la serie de tiempo de las observaciones son simplemente ruido y el estado subyacente no cambia mucho;
• $var(e_x)/var(e_y)$ es grande: los cambios se deben a un cambio de estado y los datos de observaciones representan estados casi exactamente, sin ruido.

Lo que describes es razonable:

• "Para una alta varianza: Alta verosimilitud en áreas poco razonables lejos de los valores reales" - si el ruido es alto, es probable que haya observaciones en una amplia banda alrededor de las observaciones realizadas. En ese caso, si filtras con un Filtro de Kalman, suavizará tus datos difícilmente para recuperar los estados reales.
• "¡Para una varianza muy (!) pequeña: Resultados razonables cerca de los valores reales, pero log-verosimilitudes extremadamente pequeñas alrededor" - si la varianza del ruido es pequeña, entonces es poco probable que tus observaciones se desvíen de lo esperado y esto significa que asumes que tus observaciones realizadas reflejan casi exactamente tus estados, por lo que si filtras con un Filtro de Kalman, estas pasarán por todas tus observaciones sin ningún suavizado.