Máxima verosimilitud mediante un filtro de Kalman para un modelo de dos factores

Question

Estoy tratando de implementar un filtro de Kalman para la estimación de parámetros de un modelo lineal gaussiano de dos factores en Matlab. (Modelo de Schwartz Smith para los precios de las materias primas) En otras palabras: Intento calcular la log-verosimilitud de los parámetros.

Mi modelo:

$X_t = A X_{t-1} + \epsilon_X$ siendo X bidimensional.

$Y_t = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}^T X_t + \epsilon_Y$ siendo Y unidimensional.

$A$ es invariable en el tiempo y sólo depende de los parámetros $\theta$ que me gustaría determinar.

Mi pregunta:

¿Cuál es la varianza de $\epsilon_Y$ ? Sé que normalmente representa el ruido del proceso de medición, pero no sé cuál sería el equivalente en un contexto económico.

He conseguido implementar el filtro y los resultados para experimentar con la varianza son (media = 0):

• Para la alta varianza: Alta probabilidad logarítmica en zonas no razonables y alejadas de los valores reales.
• Para una varianza muy (!) pequeña: Resultados razonables y cercanos a los valores reales, pero extremadamente pequeños Registro -probabilidades en torno a $-10^{12}$ . Me temo que esto causará problemas numéricos en la próxima estimación de máxima verosimilitud. (Tengo previsto utilizar Metropolis Hastings)

Se agradece cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Por lo general, $var(e_x), var(e_y)$ las varianzas se calibran por máxima verosimilitud a partir de datos similares a los que desea calibrar sus parámetros $\theta$ .

Ratio $var(e_x)/var(e_y)$ le indica cuáles son los cambios en su serie temporal

• $var(e_x)/var(e_y)$ es pequeño: los cambios en las series temporales de observaciones son sólo ruido y el estado subyacente no cambia mucho;
• $var(e_x)/var(e_y)$ es grande: los cambios se deben al cambio de estado y los datos de las observaciones representan los estados casi exactamente, sin ruido.

Lo que describe es razonable:

• "Para una alta varianza: Alta probabilidad logarítmica en zonas no razonables y alejadas de los valores reales" - si el ruido es alto es probable que haya observaciones en una banda amplia alrededor de las observaciones realizadas. En ese caso, si se filtra con KF, se suavizarán los datos para recuperar los estados reales.
• "Para una variación muy (!) pequeña: Resultados razonables cercanos a los valores reales, pero log-likelihoods extremadamente pequeños alrededor" - si la varianza del ruido es pequeña, entonces es poco probable que tus observaciones se desvíen de lo esperado y esto significa que asumes que tus observaciones realizadas reflejan casi exactamente tus estados por lo que si filtras con KF pasará por todas tus observaciones sin ningún suavizado.