Derivar el límite inferior de las opciones de compra europeas: $$C(S, t)\geq[S-e^{-r(T-t)}K]^+$$
Sé cómo derivarlo utilizando la paridad put-call, pero ¿hay alguna forma de derivarlo a partir de la fórmula de Black-Scholes?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
ir7
Puntos
435
Pista:
Piense en la fórmula BS como una función de $\sigma>0$ , $f(\sigma)$ con todos los demás parámetros pertinentes ( $S$ , $K$ , $r$ , $t$ , $T$ ) constantes fijas. Entonces demuestre que
-
$f$ es una función monotónicamente creciente en $\sigma$ calculando su derivada respecto a $\sigma$ ,
-
y calcula $$\lim_{\sigma \rightarrow 0^+} f(\sigma).$$
Obsérvese que la principal pieza de cálculo en (2) contiene el "interruptor $ \ln\frac{S}{{\rm e}^{-r(T-t)}K}$ relacionado con el lado derecho de tu desigualdad:
\begin{align}&\lim_{\sigma \rightarrow 0^+}\frac{\ln \left( \frac{S}{{\rm e}^{-r(T-t)}K} \right)\pm\frac{\sigma^2}{2}(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\&=\begin{cases} \infty & ,\; \; \; \ln \left( \frac{S}{{\rm e}^{-r(T-t)}K} \right)>0\\ -\infty &, \; \; \; \ln \left( \frac{S}{{\rm e}^{-r(T-t)}K} \right) <0 \\ 0 &, \; \; \;\ln \left( \frac{S}{{\rm e}^{-r(T-t)}K} \right)=0 \\\end{cases}\end{align}
0 votos
Dos preguntas, ¿es el precio de una opción de compra en el universo BS monotónico en volatilidad y qué ocurre cuando vol tiende a 0?
1 votos
No se puede obtener un resultado independiente del modelo utilizando un modelo. Puedes hacerlo, pero eso no demuestra nada más allá del mundo B-S.