Como continuación de esta vieja pregunta, Capital privado: Alfa directo frente a exceso de TIR Tengo uno nuevo.
Al automatizar los cálculos del PME, el Alfa directo (DA) es computacionalmente más sencillo y elimina la necesidad de utilizar una búsqueda de objetivos. Sin embargo, históricamente hemos utilizado el Prima privada implícita (PPI) en los informes, por lo que he estado investigando la similitud y las diferencias entre los métodos con la esperanza de poder pasar al método más automatizable.
Este documento en particular resultó ser esclarecedor y afirma lo siguiente:
Aunque ambos métodos se reconcilian con la misma TIR PME, la metodología DA calcula el diferencial de la TIR geométricamente, mientras que la metodología GEM IPP calcula el diferencial de la TIR aritméticamente. En el documento de GEM IPP, los autores demuestran que DA es un caso especial de GEM IPP y que, en caso de composición continua, GEM IPP es equivalente a DA. Como se demuestra aquí, ambos métodos producirán la misma TIR PME.
La metodología DA tiene una ventaja, ya que utiliza una función de TIR, que para el capital privado es la norma del sector. Una desventaja de la metodología DA es que la diferencia es geométrica (lo que algunos pueden considerar confuso o contraintuitivo), aunque la diferencia aritmética puede derivarse simplemente después de calcular la TIR de la PME . Una ventaja de la metodología GEM IPP es que el diferencial de la TIR es aritmético y fácil de explicar; sin embargo, el cálculo es algo engorroso.
No me queda del todo claro cómo se puede "derivar simplemente" la diferencia aritmética, aunque he conseguido encontrar algunas aproximaciones bastante decentes.
Tras calcular el DA y el IPP de varios cientos de flujos de retorno y comparar los resultados en forma de gráfico de dispersión, llegué experimentalmente a lo siguiente:
Si DA = LN(1 + a) es el alfa directo con a siendo la TIR de los flujos de caja descontados según su definición y R es la TIR de los flujos de caja no modificados, entonces la PPI puede aproximarse por
LN( 1 + DA * EXP( R ) )o similarmente
LN( 1 + DA * ( 1 + R ) )con el valor real de la PPI normalmente entre esos dos valores.
Esto me consigue un ajuste mejor que el 99% de R^2 para valores razonables de TIR y alfa, pero no entiendo exactamente por qué o si hay una conversión mejor. Heurísticamente, entiendo por qué R está involucrado y que LN convierte lo geométrico en aritmético, pero no entiendo bien los detalles.
Matemáticamente, ¿por qué funciona esto? ¿Existen conversiones/aproximaciones más precisas o sencillas que haya pasado por alto?
No he tenido mucha suerte buscando documentos o artículos que hablen de derivar valores geométricos de los aritméticos o viceversa. Cualquier referencia relevante será bienvenida.
Editar:
Creo que por fin lo he resuelto y era más sencillo de lo que pensaba. Sólo tuve que volver a leer el documento.
Usando estas igualdades del documento:
PME = R - IPPy
PME = (1 + R)/(1 + a) - 1es sencillo resolver para IPP en términos de a :
IPP = 1 + R - (1 + R)/(1 + a)Esto coincide bastante bien con mi estimación anterior cerca del origen:
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Por curiosidad, ¿por qué hay que utilizar aproximaciones? DA e IPP pueden implementarse como una sola función (ya que la única diferencia es la convención de composición) y el algoritmo es súper eficiente; el método Newton-Raphson suele obtener el resultado en pocos ensayos.
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Porque estoy implementando en DAX que tiene una función XIRR pero no es adecuada para métodos iterativos/recursivos/de bucle. Supongo que podría desenrollar un bucle en un número fijo de iteraciones, pero eso es bastante torpe.