Teorema de Bolzano-Weierstrass y Asignación Eficiente de Pareto

Question

Wikipedia dice 'El teorema de Bolzano-Weierstrass permite demostrar que si el conjunto de asignaciones es compacto y no vacío, entonces el sistema tiene una asignación eficiente en Pareto.' Sin embargo, no pude encontrar una demostración simple y convincente para este teorema en ningún lugar. ¿Podría alguien proporcionar una demostración para el teorema de manera sencilla que sea comprensible para estudiantes universitarios de Economía que hayan cursado un curso de Análisis?

Answer 1

Lo que se necesita son dos hechos:

1. Escalarización/Suficiencia para la Optimalidad de Pareto Supongamos que la economía tiene un número finito de agentes $u_i$, $i = 1, \cdots, I$, con asignaciones factibles dadas por algún $X \subset \mathbb{R}^I$. Si $x = (x_1, \cdots, x_I) \in X$ resuelve el problema $$ \max_{x \in X} \sum_{i=1}^I \lambda_i u_i(x_i), $$ donde $\lambda_i > 0$ para todo $i$, entonces $x$ es óptimo de Pareto. Este problema de maximización se llama el problema del planificador social con pesos sociales $\lambda_i$. (El recíproco no es cierto. En otras palabras, no todas las asignaciones de Pareto surgen de esta forma, ni siquiera cuando $u_i$ son cóncavas.)

2. Las funciones continuas mapean conjuntos compactos a conjuntos compactos. (El teorema de Bolzano-Weierstrass da una caracterización de compacidad en $\mathbb{R}^n$---cerrado y acotado.)

Por lo tanto, si las preferencias son continuas y el conjunto factible $X$ es compacto, la existencia de una asignación óptima de Pareto sigue inmediatamente. Elija cualquier peso social $\lambda_i > 0$. Una solución del problema del planificador social resultante es una asignación óptima de Pareto.