Problema de valor terminal de Feynman Kac dos variables

Question

Por lo tanto, necesito ayuda para avanzar en este problema.

$$ \begin{cases} \frac{\partial F(t,x,y)}{\partial t}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F(t,x,y)}{\partial x^2}+\frac{9}{2}\frac{\partial^2 F(t,x,y)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 F(t,x,y)}{\partial x \partial y}-F(t,x,y)=0 \ \ \ (t,x) \in[0,T) x R^2\\ F(T,x,y)=x^2y\\ \end{cases} $$

He llegado a la conclusión de que la matriz C definida como $\sigma*\sigma^T=\begin{matrix} 1 & 1\\ 1 & 3 \end{matrix}$

y que $\mu_{1}=\mu_{2}=0$

y que debería resolver $$F(t,x,y)=E_{t,x,y}[e^{-(T-t)}x^2y]$$

pero mi problema es averiguar cómo $x$ y $y$ debería ser. Mi intento fue $$dX(s)=dW_{1}(s)+dW_{2}(s)$$ $$dY(s)=3dW_{2}(s)+dW_{1}(s)$$ ya que deberían estar correlacionados dado el problema, pero no estoy seguro de haber entendido cómo definir $dX(s)$  y $dY(s)$  correctamente.

Bueno, si procedo con $dX(s)$  y $dY(s)$ como se ha definido anteriormente, obtengo

$$F(t,x,y)=E_{t,x,y}[e^{-(T-t)}x^2y]=\\e^{-(T-t)}E_{t,x,y}\bigg[\bigg(x+\big(W_{1}(T)-W_{1}(t)\big)+\big(W_{2}(T)-W_{2}(t)\big)\bigg)^2\bigg(y+3\big(W_{2}(T)-W_{2}(t)\big)+\big(W_{1}(T)-W_{1}(t)\big)\bigg)\bigg]$$

que no me lleva a la respuesta correcta. ¿Alguien me puede orientar?

Answer 1

Prueba con

\begin {align} dX(s)&=dW_{1}(s) \\ dY(s)&=dW_{1}(s)+ \sqrt {2}dW_{2}(s) \end {align}

La matriz de covarianza de estos diferenciales es $$\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 3\end{array}\right) \; .$$