Fijación de precios de las opciones digitales en tiempo discreto

Question

Estoy atascado en este ejercicio de mi libro de texto:

Consideremos un modelo de mercado de un período con $N+1$ activos: un bono, una acción y $N-1$ opciones de compra. Los precios del bono son $B_0=1$ y $B_1 = 1+r$ , donde $r$ es una constante. Los precios de las acciones vienen dados por una constante $S_0$ y una variable aleatoria $S_1$ tomando valores en $\{0, 1, \ldots, N-1, N \}$ para un número entero dado $N \geq 4$ . Por último, dejemos que el precio a tiempo 0 de la opción de compra con strike $K \in \{ 1, \ldots, N-1 \}$ se denota por $C(K)$ . Ahora introducimos un crédito contingente con pago en tiempo-1 $\xi_1 = g(S_1)$ , donde $g$ es la función $$g(M) = \mathbf{1}_{ \{M = K_0 \} }, \quad 0 \leq K_0 \leq N. $$ Suponiendo que el mercado no tiene arbitraje, queremos encontrar el precio del tiempo 0 $\xi_0$ en los siguientes casos: $$ 2 \leq K_0 \leq N-2 \, ; \quad K_0 = N-1 \, ; \quad K_0 = 0 .$$

Dejemos que $Y$ sea la densidad de precios del estado del mercado tal que $Y_0 =1$ . Sabemos que $$ \mathbb{E} [ YS_1 ] = S_0, \quad \mathbb{E} [ Y ( S_1 - K)^{+} ] = C(K), \text{ for } K \in \{1, \ldots, N-1 \}. $$

Pero, ¿cómo podemos calcular $$\xi_0 = \mathbb{E}[ Y \mathbf{1}_{ \{ S_1 = K_0 \} }] \quad ?$$

Answer 1

El pago de la reclamación que usted describe, $g(M)$ me parece que es un spread de mariposa apretado que se paga sólo en un estado del mundo. ¿No se puede replicar que por corto dos llamadas con la huelga $K_0$ y dos llamadas largas, con strikes uno a cada lado en $K_0\pm 1$ ? Entonces el precio de su opción sería $C(K_0+1)+C(K_0-1)-2\cdot C(K_0)$ .

Se trata efectivamente de la fórmula de Breeden-Litzenberger que expresa la distribución neutral al riesgo (aquí para estados discretos). Se puede ver que el precio de la mariposa es la estimación por diferencia finita de la segunda derivada del precio de la compra con respecto al precio.