¿Si una función de utilidad es cuasi-cóncava, podemos decir que la curva de ICC asociada a ella es convexa?

Question

Supongamos que tenemos una función de utilidad, $ U(x,y) = \sqrt{x \cdot y} $. La curva de indiferencia asociada con esto es convexa, mientras que la función en sí es cuasi cóncava (porque satisface $ f_{xx} f_x^2 - 2 f_{12} f_1 f_2 + f_{yy} f_y^2 $).

Entonces, ¿podemos decir que una función de utilidad es cuasi cóncava si la curva de indiferencia es convexa (y viceversa)?

Answer 1

En tu ejemplo, la curva de IC no es convexa en el sentido habitual de la palabra convexa cuando se aplica a conjuntos. Lo que probablemente quieres decir es que la curva de IC define implícitamente una función convexa $f$ donde $f(x) = y$.

Si esto es de hecho lo que quieres decir, entonces siempre y cuando también asumas que $U$ representa preferencias monótonas, entonces la quasi-concavidad de $U$ implicará la 'convexidad' de la curva de IC y viceversa. En este caso, el conjunto de contorno superior de cualquier nivel de $U$ será un conjunto convexo, cuyo borde inferior es la curva de IC 'convexa' que mencionas.