Cualquier serie temporal puede descomponerse en cuatro términos:
- tendencia: el cambio subyacente en la variable si no hay ningún otro factor presente. En el caso más sencillo, piense en una línea ascendente. La tasa de crecimiento de esta tendencia es su pendiente.
- ciclo: el componente cíclico de la serie, definido por subidas y bajadas como una ola, con una determinada "frecuencia" y "amplitud". Piensa en esto como en una ola.
- Componente estacional: normalmente un ciclo de un año. El ejemplo estándar de los libros de texto es el de las ventas de helados, que aumentan en verano. Esto es diferente del ciclo más largo descrito anteriormente, y tal vez menos suave (por ejemplo, ya que las ventas de helados son bajas 3/4 del año)
- ruido: aleatoriedad natural debida a errores de medición u otros factores no observados pero menores, incluidos los choques (por ejemplo, un tiempo muy caluroso en una semana, el aumento de las ventas de helados)
Para una serie $y_t$ Esto es algo así como
$$ y_t = d_t + c_t + s_t + e_t $$
Es importante que todas las variables se definan en las mismas unidades por la construcción . Por ejemplo, si se trata del PIB, todos están en unidades de valor añadido (real, nominal, lo que sea).
Un caso general de descomposición es (suponiendo sólo tendencia y ciclo):
$$ f(y_t) = d^{'}_{t} + c^{'}_{t} $$
En este caso, el crecimiento tendencial de $f(y_t)$ es la tasa de crecimiento de $d^{'}_t$ . Pero esto es no la misma que la tasa de crecimiento tendencial de $y_t$ .
Considere un ejemplo. Veamos construir una serie $y_t$ , donde $d_t=d_0(1+g)^t$ y $c_t=sin(t)$ y $y_t=d_t+c_t$ . Se trata de una descomposición tendencia-ciclo en la que la tasa de crecimiento de la tendencia es $g$ :
$$ \frac{d_{t+1}-d_t}{d_t} = \frac{d_0(1+g)^{t+1}-d_0(1+g)^t}{d_0(1+g)^t} = \cdots = g $$
Ahora, transformemos el proceso en log, y postulemos una nueva descomposición:
$$ \log y_t = D_t + C_t $$
donde $D_t = D_0(1+G)^t$ y $C_t$ es una función desconocida. Esto es, por definición, correcto, pero $C_t$ puede ser una función irregular, quizás no definida algebraicamente (como $sin(t)$ ). En este nuevo caso, es correcto, por definición, que la tasa de crecimiento tendencial del registro de $y_t$ es $G$ calculado con la fórmula estándar.
La pregunta central es: ¿podemos encontrar un método general para calcular la tasa de crecimiento tendencial de $y_t$ ( $g$ ) utilizando sólo alguna transformación de $D_t$ ? (como en su intento de utilizar el exponencial). En otras palabras, ¿podemos utilizar sólo $D_0(1+G)^t$ para obtener $g$ ?
(Aquí destaco el punto de por qué iría por esta ruta, si se puede descomponer $y_t$ en niveles y resolver su problema inmediatamente; pero de todos modos, continuemos).
La respuesta parece ser negativa. Es trivial ver que
$$ e^{D_0(1+G)t} e^{C_t} = d_0(1+g)^t + sin(t) $$
donde no se puede encontrar una función directa entre $G$ y $g$ que no implica el uso de $C_t$ y $sin(t)$ . En otras palabras, hay que utilizar la información de ambos descomposiciones para resolver el problema. Pero esto es circular. Para hacer el vínculo entre los registros y los niveles, hay que hacer la descomposición en niveles. Pero si haces esto último, la respuesta ya está ahí. No es necesario ir más allá.
Por último, consideremos el caso muy especial de que la serie $y_t$ sólo tiene una tasa de crecimiento constante (tendencia):
$$ y_t = d_t = d_0(1+g)^t $$
Entonces,
$$ \log y_t = D_t = D_0(1+G)^t = \log \left(d_0(1+g)^t\right) $$
La siguiente fórmula recupera la tasa de crecimiento original de $y_t$ en términos de la tendencia de la serie en log:
$$ \dfrac{e^{D_{t+1}} - e^{D_t}}{e^{D_t}} = \frac{d_{t+1} - d_t}{d_t} = \cdots = g $$
El resultado puede generalizarse a cualquier $f(y_t)$ donde la transformación del cálculo de la tasa de crecimiento tiene que ser $f^{-1}(\cdot)$ .
