Sólo hay que utilizar el hecho de que $$ \sigma_X W_t^1 + \sigma_Y W_t^2 = \sqrt{ \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\rho\sigma_X\sigma_Y } W_t $$ se mantiene en la probabilidad asumiendo que $W_t^1$ y $W_t^2$ son 2 movimientos brownianos correlacionados con $$ d\langle W_t^1, W_t^2 \rangle_t = \rho dt $$ y $W_t$ es un nuevo movimiento browniano estándar definido sobre el mismo espacio de probabilidad.
En pocas palabras, basta con sustituir la suma de dos gaussianas correlacionadas (LHS anterior) por una única gaussiana (RHS anterior) que presente exactamente las mismas propiedades estadísticas (para una gaussiana basta con una media/varianza idéntica). De este modo, podrá utilizar las fórmulas a las que está acostumbrado.
La aplicación de esto muestra $$ X_t Y_t = X_0Y_0 \exp((a+b-\frac{1}{2}\sigma_X^2-\frac{1}{2}\sigma_Y^2)t +\sqrt{ \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\rho\sigma_X\sigma_Y } W_t) $$ se distribuye de forma lognormal con la media $$ \mu = \ln(X_0Y_0)+(a+b-\frac{1}{2}\sigma_X^2-\frac{1}{2}\sigma_Y^2)t $$ y la varianza $$ \sigma^2 = (\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\rho\sigma_X\sigma_Y)t $$
por lo que aplicando la fórmula habitual para la media de una variable distribuida lognormalmente $$ E[X_t Y_t] = e^{\mu + \sigma^2/2} $$ es una función de $\rho$ .
[Editar]
Creo que estás mezclando completamente dos problemas diferentes (aquí dos medidas de probabilidad diferentes).
Entiendo por tu comentario que defines la dinámica del tipo de cambio instantáneo FOR/DOM $X_t$ (es decir $X_t = x$ lo que significa que, en el momento $t$ 1 unidad de moneda extranjera = x unidades de moneda nacional) bajo el medida neutra para el riesgo extranjero $\mathbb{Q}^f$ (o más bien el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{Q}^f)$ junto con el proceso de precios de un subyacente de renta variable denominado en la moneda extranjera.
En ese caso, según la medida nacional de riesgo neutro $\mathbb{Q}^d$ (o más bien el espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{Q}^d)$ ), se debería tener, por ausencia de oportunidades de arbitraje y asumiendo la completitud del mercado: $$ \frac{Y_t X_t}{B_t^d} \text{ is a } \mathbb{Q}^d \text{- martingale} $$
con $B^d_t$ representando el tiempo- $t$ valor de una cuenta del mercado monetario sin riesgo en la economía nacional en la que se ha invertido 1 unidad de moneda a $t=0$ . Utilizando la propiedad de la martingala implica entonces que: $$ \frac{Y_0 X_0}{B_0^d} = Y_0 X_0 = E^{\mathbb{Q}^d} \left[ \frac{Y_t X_t}{B_t^d} \vert \mathcal{F}_0 \right] $$ y además asumiendo tasas deterministas: $$ E ^{\mathbb{Q}^d} \left[ X_t Y_t \vert \mathcal{F}_0 \right] = e^{-r_d t} X_0 Y_0 $$ que es independiente de $\rho$ .
Esto se conoce como compo ajuste en la jerga de los deriativos.
Dicho esto, en el marco de la medida $\mathbb{Q}^f$ donde se ha definido originalmente $X_t$ y $Y_t$ El expectativa $E^{\mathbb{Q}^f} [ Y_t X_t ]$ depende de $\rho$ como se insinuó anteriormente .
Más información sobre la técnica de cambio de medida quanto/compo aquí
