¿Qué quiere decir con "para que podamos fijar los precios como siempre"? Lo que has mostrado es que por cada $c \in \mathbb R$ podemos encontrar una medida de probabilidad tal que la deriva de $S$ es $c$ . Pero eso no dice realmente nada sobre los precios.
Se puede ver fácilmente que $V_t = E^Q_t[e^{-r(T-t)} \Phi_T]$ no da precios libres de arbitraje con su elección de $Q$ . En efecto, si $\Phi_T = S_T$ entonces $E^Q_t[e^{-r(T-t)} S_T] = S_0$ . Pero si invierto $S_0$ en la acción en el momento $0$ , entonces en el momento $T$ , seré el dueño de $S_T$ más todos los dividendos que gané.
Lo que importa en la fijación de precios sin arbitraje es la noción de cartera autofinanciada (= estrategia). Dos carteras autofinanciadas que den los mismos flujos de caja deben tener igual precio. El problema es que, en presencia de dividendos, una cartera $V_t = S_t$ no se autofinancia.
Editar : Es posible que esté confundido por el hecho de que una medida neutral al riesgo se define a menudo como una medida bajo la cual los procesos de precios subyacentes descontados son martingales. Si ese fuera el caso, su medida sería una medida neutral al riesgo. Pero el a la derecha La definición de una medida neutral al riesgo es una medida bajo la cual los procesos de precios descontados de las carteras autofinanciadas son martingales (esto es mencionado por Shreve p. 234). Esto es importante porque la autofinanciación es independiente de la medida que se considere, por lo que se puede razonar bajo la medida histórica para decidir si una cartera se autofinancia o no y, a continuación, utilizar la fijación de precios neutral al riesgo para fijarla realmente.
De ahí viene la fórmula de los precios: si
- la recompensa $\Phi_T$ puede ser replicado por una cartera de autofinanciación $V_T = \Phi_T$ ,
- existe una medida bajo la cual los precios descontados de las carteras autofinanciadas son martingalas entonces $$ V_t= E_t^Q[e^{-r(T-t)}V_T]= E_t^Q[e^{-r(T-t)}\Phi_T]. $$ que nos da el precio del flujo de caja.
Considere un mercado con activos subyacentes $(S^1,\ldots,S^d)$ y cuenta de dinero $S^0_t = e^{rt}$ .
Reclamación : En ausencia de dividendos, si todos los descontados $S^i$ son martingalas bajo una medida de probabilidad $\mathbb{Q}$ entonces también lo son todas las carteras de autofinanciación descontadas (así $\mathbb{Q}$ es una medida neutral al riesgo).
Prueba: Consideremos una cartera $$ V_t = \delta^0_t S^0_t + \sum_{i=1}^d \delta_t^i S^i_t $$ Observe que $\delta^0_t S^0_t = V_t - \sum_{i=1}^d \delta_t^i S^i_t$ . Introduce esto en la ecuación de autofinanciación \begin {eqnarray*} dV_t &=& \delta ^0_t dS^0_t + \sum_ {i=1}^d \delta_t ^i dS^i_t \\ dV_t &=& \delta ^0_t rS^0_tdt + \sum_ {i=1}^d \delta_t ^i dS^i_t \\ dV_t &=& r(V_t - \sum_ {i=1}^d \delta_t ^i S^i_t)dt + \sum_ {i=1}^d \delta_t ^i dS^i_t \\ dV_t - rV_t &=& \sum_ {i=1}^d \delta_t ^i (dS^i_t - rS^i_t dt) \\ d(e^{-rt}V_t) &=& \sum_ {i=1}^d \delta_t ^i d(e^{-rt}S^i_t) \end {eqnarray*} Dado que todos los $(e^{-rt}S^i_t)$ son $\mathbb{Q}$ -martingales, así es $(e^{-rt}V_t)$ .
Conclusión: Lo que hace que la medida de neutralidad de riesgo sea útil para la fijación de precios es que las carteras autofinanciadas descontadas son martingalas. En ausencia de dividendos, esto equivale a que los subyacentes descontados son martingales. Pero un activo que paga dividendos por sí mismo no es una cartera autofinanciada, por lo que no es útil encontrar una medida de probabilidad bajo la cual sea una martingala.
