tipo de interés estocástico en el modelo de precios binomial y en los modelos continuos

Question

¿Se permite que el tipo de interés sea realmente estocástico en el modelo de fijación de precios binomial y en los modelos continuos, de modo que podamos seguir pasando a la medida neutral del riesgo?

Shreve menciona en múltiples ocasiones que el tipo de interés tiene que adaptarse a la filtración del proceso del precio de las acciones. Mi interpretación es la siguiente: demos un modelo de precios binomial de dos períodos. Indexemos los precios con $i$ : $S_i$ para el precio de las acciones en $i^{th}$ período. También vamos a indexar los precios con $u$ y $d$ para cuando el movimiento anterior del precio fue al alza o a la baja. En otras palabras, $S_{1}^{u}$ representa el precio de la acción en el primer período, por lo que acaba de subir ( $S_0*u$ ). También dejemos que el tipo de interés sea totalmente aleatorio y no se adapte a la filtración del proceso discreto del precio de las acciones. Indexe los tipos de interés de forma similar, pero deje que $r^A$ significa resultado $A$ y $r^B$ significa resultado $B$ . En otras palabras, $r$ es un R.V. discreto y tiene dos resultados posibles. Como siempre, supongamos $d \leq (1+r) \leq u$ para evitar el arbitraje. Para cubrir una posición corta en esa opción, tenemos que cubrir ocho estados de la naturaleza:

1. $r_1^A, S_2^{uu}$
2. $r_1^A, S_2^{ud}$
3. $r_1^B, S_2^{uu}$
4. $r_1^B, S_2^{ud}$
5. $r_1^A, S_2^{du}$
6. $r_1^A, S_2^{dd}$
7. $r_1^B, S_2^{du}$
8. $r_1^B, S_2^{dd}$

Además, como sólo podemos reajustar la cobertura en función de la información (filtración) de que disponemos en el momento $t$ , denotémosle $M$ como inversión inicial en la cuenta del mercado monetario y que $\delta_i(S_i^{w}, r_i^{w})$ sea la posición de cobertura en acciones en el momento $i$ En función de los resultados $w$ . Di, $\delta_1(S_1^u, r_1^A)$ ¿la posición en acciones que tomamos en el periodo 1 cuando la acción ha subido y el tipo de interés ha terminado $A$ . Entonces son posibles seis de estas posiciones de cobertura basadas en la filtración:

1. $\delta_0$
2. $M$
3. $\delta_1(S_1^u, r_1^A)$
4. $\delta_1(S_1^d, r_1^A)$
5. $\delta_1(S_1^u, r_1^B)$
6. $\delta_1(S_1^d, r_1^B)$

Ocho ecuaciones en seis incógnitas: no se puede cubrir. Necesitamos un factor de apalancamiento más para cubrir esto. ¿Es esto correcto?

Un colega quant me ha dicho que el proceso de los tipos de interés no tiene que adaptarse a la filtración del proceso de las acciones y que sólo es un supuesto técnico. Bueno sí pero entonces no podemos pasar a la medida de riesgo neutro porque no podemos cubrir, y la medida de riesgo neutro se trata de cubrir... ¿Es esto lo que entiendo correctamente?

Answer 1

Creo que ambas cosas son correctas en diferentes sentidos. La medida neutra de riesgo es la medida asociada a la cuenta bancaria, y la definición estándar de cuenta bancaria es efectivamente un proceso adaptado. Y las condiciones técnicas están efectivamente ahí por una razón.

Pero entonces se puede tener, por ejemplo, la medida T, que utiliza el cupón cero, cuyo rendimiento es estocástico en cada paso, excepto en el último paso de $T-1$ a $T$ porque el pago en T es conocido. Y el rendimiento de la cuenta bancaria no es más que el rendimiento del bono que vence en el siguiente paso temporal.