Calcular la volatilidad según el modelo binomial de valoración de opciones

Question

La pregunta original se cita a continuación.

El precio de la acción subyacente es ahora \$100, and tomorrow it will be either \$ 101 (con probabilidad $p$ ) o \$99 (with probability $ 1-p $). A call option with value $ c $ which expire tomorrow has exercise price \$ 100. Encuentre el valor de $c$ según el modelo Black-Scholes. Ignora el tipo de interés.

Cuando abordo esta cuestión, primero deduzco $p=\frac{1}{2}$ . Para utilizar la fórmula del precio de la opción de compra, necesitamos $S, E, r, T-t, \sigma$ . De la pregunta se desprende que $$S=100, E=100, r=0, T-t=\frac{1}{365}$$ Así que sólo necesitamos $\sigma$ . Desde $\sigma$ se mide por la desviación típica de la rentabilidad $\frac{dS}{S}$ Procedo de la siguiente manera: $$E(return)=(1/100)(0.5)+(-1/100)(0.5)=0$$ $$Var(return)=(1/100-0)^2(0.5)+(-1/100-0)^2(0.5)=0.0001$$ $$sd(return)=\sqrt{0.0001}=0.01$$ Aplicando la fórmula del precio explícito de la opción de compra según el modelo Black-Scholes, encontré $$d_1=0.00026171, d_2=-0.00026171, N(d_1) = 0.500104407965456, N(d_2)=0.499895592034544$$ Así, el precio deseado es $$SN(d_1)-Ee^{-r(T-t)}N(d_2)=0.0209$$ El procedimiento me parece lógico. Sin embargo, como el beneficio de la opción de compra es $$(1)(0.5)+(0)(0.5)=0.5$$ Esperaba que el precio fuera cercano o igual a \N 0,5 dólares. ¿Cómo es que difieren tanto?

Answer 1

Por su respuesta a mi comentario, esto es lo que yo haría.

En el horizonte $[0,\Delta t]$ el modelo BS le dice que la rentabilidad logarítmica esperada es $$ \Bbb{E}\left[ \ln\left(\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}\right) \right] = \left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\Delta t$$ con una varianza $$ \Bbb{V}\left[ \ln\left(\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}\right) \right] = \sigma^2 \Delta t$$

En el mismo horizonte, su modelo binomial le dice que: $$ \Bbb{E}\left[ \ln\left(\frac{S_{t+\Delta t}}{S_t}\right) \right] = 0.5 \ln(101/100)+0.5\ln(99/100) \approx -5e^{-5}$$ \begin {align} \Bbb {V} \left [ \ln\left ( \frac {S_{t+ \Delta t}}{S_t} \right ) \right ] &=(0.5 \ln ^2(101/100) + 0.5 \ln ^2(99/100)) - (-5e^{-5})^2 \approx 1e^{-4} \end {align}

Si quiere que sus modelos sean mutuamente coherente deberían coincidir al menos en los dos primeros momentos de la distribución del log-return. Esto le obliga a elegir: $$ (\mu-\frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t = -5e^{-5},\quad \sigma^2 \Delta t = 1e^{-4} $$ que da, con $\Delta t=1/365$ $$\sigma = \sqrt{1e^{-4}\dot\,365} = 1e^{-2}\sqrt{365} = 0.1911$$ $$\mu = -5e^{-5}\dot\,365+\frac{1}{2}(0.1911)^2 \approx 1e^{-5}$$ Ahora puedes utilizar la fórmula de BS como propones para encontrar un precio alrededor de $0.4$ .

Answer 2

Todos los márgenes se ajustan al mercado.

Los largos de opciones no contabilizan el margen porque las operaciones de margen largas están prohibidas.

Los compradores de acciones deben depositar un margen si se toma prestado dinero en efectivo para financiar la compra.

Los cortos de todo tipo deben depositar un margen, y los tipos suelen ser los mismos: unas cuantas desviaciones estándar de la variación media diaria del subyacente.

Un operador de futuros de divisas, debido a la involatilidad de la mayoría de las monedas principales, puede salirse con la suya en algunos puntos porcentuales. Las materias primas pueden llegar a rondar el 10%. Las acciones individuales suelen rondar el 20%, mientras que los índices pueden llegar al 10%.

Un futuro es un caso especial porque ambas partes están técnicamente cortas y largas al mismo tiempo. El ejemplo más fácil de percibir es un futuro de divisas. ¿Cuál es el comprador y cuál el vendedor? Ambos y ninguno.

Los contratos pueden denominarse para una parte como el vendedor y la otra como el comprador, pero contractualmente, legalmente y efectivamente, ambos son responsables ante el otro, y ambos deben recibir la entrega. En el caso de los activos no monetarios, sólo parece que el vendedor de efectivo es el comprador porque el efectivo no se considera un activo del mismo modo que el resto de los activos, pero el "largo" está obligado a vender efectivo y comprar el "activo".