Valor esperado de los productos de los procesos

Question

Supongamos que tengo dos procesos.

$A_t = A_0 \exp((a-\frac{1}{2}\sigma_A^2)t+\sigma_A W_t^A$

$B_t = B_0 \exp((b-\frac{1}{2}\sigma_B^2)t+\sigma_B W_t^B$

Me gustaría calcular $E[A_s B_t]$ donde s < t.

Intento:

Puedo reescribir $B_t$ como $B_t = B_s \exp((b-\frac{1}{2}\sigma_B^2)(t-s) + \sigma_B W_{t-s}^B)$ . Entonces, $A_sB_t = A_sB_s\exp((b-\frac{1}{2}\sigma_B^2)(t-s) + \sigma_B W_{t-s}^B)$ .

Así, $E(A_s B_t) = E(A_s B_s)E(\exp((b-\frac{1}{2}\sigma_B^2)(t-s) + \sigma_B W_{t-s}^B))$

$= A_0 B_0 \exp((a+b+\rho\sigma_A \sigma_B)s)+\sigma(b(t-s))$ .

¿Podría alguien confirmar si este enfoque es correcto? ¿Cómo podría entonces calcular $E(A_s B_t B_r)$ donde $ s < t < r$ . ¿Simplemente haría lo mismo pero utilizaría

$B_r = B_s\exp((b-\frac{1}{2}\sigma_B^2)(r-t)+\sigma_BW_{r-t}^B)\exp((b-\frac{1}{2}\sigma_B^2)(t-s)+\sigma_BW_{t-s}^B)\exp((b-\frac{1}{2}\sigma_B^2)s+\sigma_BW_{s}^B)$

La segunda parte de esta pregunta está relacionada con el delantero. Supongamos que $s<t<r$ y $F_{t,r}^A = E(A_r|A_t)$ . ¿Cómo podría calcular $E(B_r F_{t,r}^A )$ ? ¿Puedo hacer $E(B_r)E( F_{t,r}^A )$ aunque los periodos de tiempo se solapen porque estoy trabajando con un delantero?

Answer 1

Basado en la descomposición de Cholesky, \begin {align*} W_t^A &= W_t^1, \\ W_t^B &= \rho W_t^1 + \sqrt {1- \rho ^2}W_t^2, \end {align*} donde $(W_t^1, t \ge 0)$ y $(W_t^2, t \ge 0)$ son dos movimientos brownianos estándar independientes. Entonces \begin {align*} A_t &= A_0 \exp\Big ( \big (a- \frac {1}{2} \sigma_A ^2 \big )t + \sigma_A W_t^1 \Big ), \\ B_t &= B_0 \exp\Big ( \big (b- \frac {1}{2} \sigma_B ^2 \big )t + \sigma_B\big ( \rho W_t^1 + \sqrt {1- \rho ^2}W_t^2 \big ) \Big ). \end {align*} El resto de los cálculos se basan en esta descomposición. Por ejemplo, suponiendo que $t<r$ , tenga en cuenta que \begin {align*} A_r &= A_0 \exp\Big ( \big (a- \frac {1}{2} \sigma_A ^2 \big )r + \sigma_A W_r^1 \Big ) \\ &=A_0 \exp\Big ( \big (a- \frac {1}{2} \sigma_A ^2 \big )t + \sigma_A W_t^1 + \big (a- \frac {1}{2} \sigma_A ^2 \big )(r-t) + \sigma_A (W_r^1-W_t^1) \Big ) \\ &= A_t \exp\Big ( \big (a- \frac {1}{2} \sigma_A ^2 \big )(r-t) + \sigma_A (W_r^1-W_t^1) \Big ). \end {align*} De manera similar, \begin {align*} B_r &= B_t \exp\Big ( \big (b- \frac {1}{2} \sigma_B ^2 \big )(r-t) + \sigma_B\big [ \rho (W_r^1-W_t^1) + \sqrt {1- \rho ^2}(W_r^2-W_t^2) \big ] \Big ). \end {align*} Entonces, \begin {align*} F_{t, r}^A &= E(A_r \mid A_t) \\ &= A_t \exp\big (a(r-t) \big ). \end {align*} En consecuencia, \begin {align*} E(B_r F_{t, r}^A) &=E(B_r E(A_r \mid A_t)) \\ &= \exp\big (a(r-t) \big ) E(B_r A_t) \\ &= \exp\big (a(r-t) \big ) E \big (E(B_r A_t \mid \mathcal {F}_t) \big ) \\ &= \exp\big ((a+b)(r-t) \big ) E(A_t B_t) \\ &=A_0B_0 \exp\big ((a+b)(r-t) \big ) \\ & \quad E \left ( \exp\Big ( \big (a- \frac {1}{2} \sigma_A ^2 \big )t + \sigma_A W_t^1 + \big (b- \frac {1}{2} \sigma_B ^2 \big )t + \sigma_B\big ( \rho W_t^1 + \sqrt {1- \rho ^2}W_t^2 \big ) \Big ) \right ) \\ &=A_0B_0 \exp\big ((a+b)\N-\N-\N-\N-+ \rho\ , \sigma_A\sigma_B\ , t \big ). \end {align*}

En cuanto a $E(A_sB_tB_r)$ , donde $s<t<r$ se puede utilizar la ley de la torre: primero consicional en $\mathcal{F}_t$ y, a continuación, con la condición de $\mathcal{F}_s$ .