Por qué la varianza de un proceso es $\left( \frac{dS_T^2}{dt}\right)^2$ ?

Question

Considere un proceso Ito $dS_t = f(t,S_t) dt + g(t,S_t)dW_t$

¿Cuál es la razón por la que podemos calcular la varianza como $\sqrt{VaR(S_t)} = \frac{(dS_t)^2}{dt}$

Answer 1

Porque la varianza instantánea se puede escribir de la siguiente manera:

$V \left[ dS_t\right]=E\left[ \left( dS_t -E\left[dS_t\right] \right)^2\right]$

$V \left[ dS_t\right]=E\left[ \left( dS_t -f \, dt \right)^2\right]$

$V \left[ dS_t\right]=E\left[ \left( g \, dW_t \right)^2\right]=g^2dt$

Que es lo mismo que:

$V \left[ dS_t\right]=E\left[ dS_t dS_t\right]=g^2dt$

Donde utilicé el conocido taladro $dtdt=0,dtdW=0, \text{ and } dWdW=dt$ .