L2 Supuestos del método Longstaff Schwartz

Question

En la página 121 del original Papel LS utilizan el hecho de que el espacio de funciones con el que tratan (los pagos de las opciones americanas), pertenecen al $\mathcal L^2$ espacio.

Utilizan esta suposición para permitir lo siguiente (1) que exista una única proyección ortogonal de este espacio de Pagos Americanos y (2) que la proyección ortogonal pueda descomponerse como una combinación finita de bases.

Así que al final, vienen con una representación polinómica de la expectativa condicional.

Tengo algunas preguntas sobre el $\mathcal L^2$ supuesto:

1) ¿Es necesario tratar con espacios de dimensión infinita?

1.1.) Nuestra simulación de Monte-Carlo nos da un número finito de vectores, por lo tanto, ¿no estamos en espacios finitos?

1.2) Si estamos en espacios finitos, quiero confirmar que en el caso del espacio finito, siempre encontraremos una proyección ortogonal y siempre encontraremos una descomposición en un número contable de bases.

2) En el caso de que queramos insistir con espacios de dimensión infinita:

2.1) sabemos que los americanos son funciones convexas, pero ¿cómo demostramos que son de varianza acotada (integrables al cuadrado)? He leído los artículos que mencionan Karatzas y Bensoussan pero todavía no me queda claro cómo demostrar que los americanos pueden formar un $\mathcal L^2$ espacio

2.3) Entonces los autores siguen trabajando en una cartera de muchas opciones dependientes de la trayectoria (como su ejemplo de la americana-bermuda-asiática) ¿cómo demostramos que son de variación acotada?

2.2) Ahora, una pregunta sobre el subespacio utilizado en la regresión (sus "X", es decir, los precios de las acciones).

En el caso de las proyecciones ortogonales, no sólo tenemos que demostrar que partimos de un espacio de Hilbert, sino también que el espacio sobre el que nos proyectamos es un subespacio del mismo (es decir, es un subespacio cerrado de las "Y" - los precios americanos). Entiendo que el subespacio son los precios de las acciones observados, ¿cómo sabemos que forman un subespacio del espacio de Hilbert original?

Gracias.

Answer 1

1) ¿Es necesario tratar con espacios de dimensión infinita?

Sí, creo que necesitas un espacio de pago de dimensiones infinitas. Su observación de que una muestra finita abarca un espacio de pago de dimensión finita es cierta. Pero usted querría demostrar la convergencia del método para cualquier pago, es decir, para todas las muestras posibles de todos los tamaños.

2) En el caso de que queramos insistir con espacios de dimensión infinita

Creo que $\mathcal{L}^2$ debería significar aquí integrable al cuadrado y no variación acotada. Y de nuevo tienes razón en que esto es algo que requiere demostración. Pero estando en $\mathcal{L}^2$ dado que los pagos son en $\mathcal{L}^1$ (ya que tienen un precio) no es una restricción fuerte en la práctica. Por ejemplo, estar acotado en conjuntos compactos debería ser suficiente.

No entiendo del todo su última pregunta. Si se proyecta se permanece siempre en el espacio original por definición de proyección. Y el espacio es cerrado ya que es de dimensión finita al estar abarcado por polinomios de grado finito.