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MPT y la conexión con los precios de los activos / capital inicial

Tengo algunas preguntas sobre MPT. Supongamos que queremos construir un portafolio dado $N$ activos: $A_1, \dots, A_N$. En el tiempo $t$ construimos el portafolio usando MPT, lo cual nos da un vector de pesos $w_t=(\lambda_1, \dots, \lambda_N)$, con $\sum_i\lambda_i = 1$. En el tiempo $t$, tenemos un capital inicial $K_t$ y los precios de los activos son dados por $S^1_t, \dots, S^N_t.

Mi pregunta es, dado los pesos $w_t$, ¿qué fracción del activo $i$ debo comprar para que el portafolio esté construido correctamente según el MPT? En un primer paso, y para simplicidad, asumimos que se puede comprar cualquier fracción de un activo. Por lo tanto construiría el portafolio como:

$\frac{S^1_t}{\lambda_1K}$ del activo $A_1$, $\frac{S^2_t}{\lambda_2K}$ del activo $A_2, \dots$ y $\frac{S^1_t}{\lambda_NK}$ del activo $A_N$. ¿Es eso correcto? ¿Cómo se hacen estas cosas generalmente en realidad?

Además, asumiendo que tenemos el problema de optimización clásico

$$\min\{w^T\Sigma w-qR^Tw\}$$

donde $R$ es el rendimiento esperado de los activos y $\Sigma$ es la matriz de covarianza dada la restricción

$$\sum w_i = 1$$

¡Me parece que el capital inicial no importa? ¿O cómo se puede vincular el capital inicial en las restricciones?

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Robert S. Barnes Puntos 1061

El capital inicial no es realmente una limitación en el análisis teórico, pero podría ser una limitación práctica en realidad. La función objetivo que proporcionaste define la frontera eficiente correspondiente a una tolerancia al riesgo dada $ q \in [0, \infty] $: $$ \min\{w^T\Sigma w-qR^Tw\} $$

Este criterio se encuentra entre otros criterios populares de optimización, como la varianza mínima, la relación de Sharpe máxima, etc. Al resolver estas funciones numéricamente, podemos obtener los pesos óptimos, $ W $, sujetos a la restricción de unidad $ \sum w_i =1 $. En un mundo teórico sin fricciones, asumiendo un capital total de $ K $, se asignaría capital $ K * w_i $ al activo i, lo que se traduciría en las $ q_i $ acciones a comprar para lograr la cartera de MPT: $$ q_i = \frac{K * w_i}{S_i} $$

Sin embargo, en realidad, este número rara vez es un número redondo. Dado que no se pueden comprar decimales de acciones en el mercado estándar, se deben aplicar operaciones de truncamiento o redondeo a los resultados de optimización.

Hay ciertas situaciones en las que el capital inicial sí importa. En estos casos, se deben incorporar las limitaciones de capital en el procedimiento de optimización:

1) Importa cuando el capital inicial es demasiado pequeño, de modo que la asignación individual se ve significativamente afectada por el redondeo y el truncamiento. Para una cartera con un capital infinito, estos efectos de redondeo pueden ser ignorados. Sin embargo, para una cartera pequeña, las operaciones de truncamiento pueden tener un impacto sustancial. Por ejemplo, para un contrato de futuros, el valor mínimo del contrato suele estar en el rango de 100,000 dólares. En este caso, una cartera pequeña con un capital total de 200,000 puede que no pueda asignar capital de manera eficiente sin desviarse de los resultados de optimización.

2) Cuando el capital inicial es demasiado grande, de modo que la asignación individual puede mover sustancialmente el mercado y causar preocupaciones de liquidez. En este caso, se deben proporcionar restricciones de asignación máxima de capital a activos seleccionados.

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