Propiedades sobre la correspondencia de la demanda condicional del libro de texto de Mas-Colell et al

Question

Tengo una pregunta sobre las propiedades de la correspondencia de la demanda condicional

Dejemos que $z(w,q)$ sea el correspondencia condicional de la demanda de factores es decir, la solución del problema de minimización de costes

\begin {align} \min_z \quad & w \cdot z \\ \text {sujeto a} \quad & f(z) \geq q. \end {align}

En el libro de Mas-Colell, Whinston, Green, la proposición 5.C.2 (v) dice que

si el conjunto $\{z\ge 0 : f(z)\ge q\} $ es convexo entonces $z(w,q) $ es un conjunto convexo.

Además, en la misma propiedad, establece que

si $f$ es cuasicóncava entonces $z(w,q)$ es un conjunto convexo para cada $w>>0$ .

¿Cómo puedo demostrar estas dos afirmaciones? Me gustaría entender estas dos propiedades. Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos que $z_1$ y $z_2$ sea $\geq 0$ y la solución a

$$\min_z \{w^\top z\lvert f(z)\geq q\}$$

entonces claramente $f(z_1)\geq q$ y $f(z_2)\geq q$ y como $\{z\geq 0\lvert f(z)\geq z \}$ es convexo se deduce entonces que $z_3 := \lambda z_1 + (1-\lambda)z_2$ debe satisfacer la restricción $f(z_3)\geq q$ .

Desde $z_1$ y $z_2$ son ambos minimizadores no puede ser que $w^\top z_1 \not = w^\top z_2$ más bien debe ser el caso que $w^\top z_1 = w^\top z_2$ . Esto implica que $w^\top z_3 = w^\top(\lambda z_1 + (1-\lambda)z_2) = \lambda w^\top z_1 + (1-\lambda) w^\top z_2 = w^\top z_1$ por lo que $z_3$ es un minimizador.

Desde $z_3$ es minimizador y satisface la restricción debe estar en $z(w,q)$ que por tanto debe ser un conjunto convexo.

Si $f$ es cuasi cóncavo entonces por definición $\{z\geq 0 \lvert f(z) \geq q\}$ es convexo y, por lo tanto, utilizando el argumento anterior implica $z(w,q)$ es convexo.