Libro de Jordi Gali Primera Edición Página 47 (necesito ayuda para la derivación)

Question

La siguiente imagen es de la página 47 de Monetary Policy, Inflation, and the Business Cycle de Jordi Gali. Mi pregunta es "cómo podemos derivar la ecuación (15). Si (15) es una ecuación correcta, mi opinión es que $E_t[\hat{mc}_{t+k}] = 0$ para todos $k \not= 0$ y $E_t[\pi_{t+k}] = 0$ para todos $k \not= 0,1$ . Pero, ¿en qué nos basamos para asegurar estos resultados?

Notación: $\theta \in (0,1)$ es la probabilidad de que la empresa pueda cambiar el nivel de precios. $\hat{mc}_{t+k} = mc_{t+k} - mc$ donde $mc$ es el coste marginal en el estado estacionario.

Es difícil poner toda la información relevante a mi pregunta en este post. Aquí está el enlace de este libro: https://perhuaman.files.wordpress.com/2014/06/gali_polc3adtica_monetaria.pdf (véase la página 47)

Answer 1

Esta simplificación de la suma infinita se realiza comúnmente mediante un enfoque de diferenciación. Se puede ver aquí un ejemplo de este enfoque en este tipo de modelos.

En cuanto a los supuestos mencionados por usted, para $\hat{mc}_t$ ya que es una desviación del estado estacionario de la variable de niveles, en el equilibrio no hay expectativas y por lo tanto $mc_t=mc\implies \hat{mc}_t=0$ para todos $t$ en el estado estacionario. En otras palabras, en el estado estacionario el valor de esta variable es determinista y nulo, pero de ninguna manera la expectativa a corto plazo de este valor $E_t[\hat{mc}_{t+k}]$ tiene que ser cero, ni esta es la forma de simplificar la serie.

Con respecto a $\pi_t$ algo similar ocurre, ya que por definición $\pi_t=(1-\theta)(p_t^*-p_{t-1})$ (Galí, 2008, p.57) y de nuevo, en el estado estacionario $p_t^*=p_{t-1}\implies \pi_t=0$ Pero, al igual que con el coste marginal, no hay ninguna razón por la que se espere que la inflación logarítmica-lineal sea cero, aparte de estar en el estado estacionario.