Duración media del empleo

Question

De Macroeconomía 7ª edición de Gregory Mankiw, p166.

He aquí un ejemplo numérico. Supongamos que el 1% de los ocupados pierde su empleo cada mes ( $s$ = 0.01). Esto significa que, por término medio, los empleos duran 100 meses, es decir, unos 8 años. Supongamos además que el 20% de los desempleados encuentra un trabajo cada mes ( $f$ = 0,20), de modo que los periodos de desempleo duran una media de 5 meses. Entonces, la tasa de desempleo en estado estacionario es

$\frac U L = \frac {0.01} {0.01 + 0.20} = 0.0476.$

La tasa de desempleo en este ejemplo es de aproximadamente el 5%.

Bueno, aquí no entiendo esta parte.

Esto significa que, por término medio, los empleos duran 100 meses

Para mí, el hecho de que 0,01 por 100 meses llegue a ser 1, parece muy plausible en cierto sentido. Pero no entiendo el proceso en él. Mi conjetura era la siguiente. Si alguien entre 100 personas pierde su trabajo mensualmente,

(Supongamos que nunca pueden ser reempleados, que es lo contrario en el libro de texto; no estoy seguro de que esto importa en la cuestión aquí)

entonces el primer tipo pierde después de 1 mes, el segundo tipo 2 meses, ... Así que podemos sumar todo su período de trabajo 1+2+3+...+100 que es 5050, y dividirlo con 100 personas, entonces obtenemos 50,50 meses por persona. ¿Qué me falta?

Answer 1

Esto es simplemente el distribución geométrica .

Un trabajo dura 1 mes con probabilidad $s$ .

Un trabajo dura 2 meses con probabilidad $(1-s)s$ .

Un trabajo dura 3 meses con probabilidad $(1-s)^2s$ .

$\vdots$

Un trabajo dura $n$ meses con probabilidad $(1-s)^{n-1}s$ .

Por lo tanto, la duración media de un trabajo es: $$\begin{align*} & 1\cdot s+2\left(1-s\right)s+3\left(1-s\right)^{2}s+\dots+n\left(1-s\right){}^{n-1}s+\dots\\ = & \left[s+\left(1-s\right)s+\left(1-s\right)^{2}s+\dots\right]+\left[\left(1-s\right)s+\left(1-s\right)^{2}s+\dots\right]+\dots\\ = & \frac{s}{1-\left(1-s\right)}+\frac{1-s}{1-\left(1-s\right)}+\frac{\left(1-s\right)^{2}}{1-\left(1-s\right)}+\dots=\frac{s}{s}+\frac{1-s}{s}+\frac{\left(1-s\right)^{2}}{s}+\dots\\ = & \frac{1}{s}\left(s+s\left(1-s\right)+s\left(1-s\right)^{2}+\dots\right)=\frac{1}{s}\frac{s}{1-\left(1-s\right)}=\frac{1}{s}. \end{align*}$$

En el ejemplo numérico concreto dado por Mankiw, tenemos $s=0.01$ y, por tanto, la duración media de un trabajo es $1/s=100$ .