Soy un estudiante de posgrado que trabaja en un problema de investigación de opciones reales que me sugirió mi asesor. No estoy buscando una solución, pero me gustaría saber sobre la viabilidad de resolver numéricamente lo siguiente, ya que no he avanzado durante mucho tiempo.
En el problema, utilizo un proceso de Jacobi para modelar la volatilidad. El proceso de Jacobi sigue la dinámica: $$dV(t)=\kappa(\theta-V(t))dt+ {\sigma}_v \sqrt{\frac{(V(t)-v_{min})(v_{max}-V(t))}{(\sqrt{v_{max}}-\sqrt{v_{min}})^2}}dW^V(t)$$
donde $W^V(t)$ es un movimiento browniano estándar.
Dejemos que $C_1,C_2,C_3$ sean constantes. He reducido mi problema a evaluar
$$E[e^{\int_t^sV(p)(C_1(e^{-a(s-p)}-1)-C_2)dp}|V(t)=v] $$
donde $s>t$ . Me gustaría encontrar una solución de forma cerrada para esto, pero no sé cómo proceder en esa dirección. El objetivo es calcular
$$L_j(t)=C_3\int_t^{j+b}[\int_t^qE[e^{\int_t^sV(p)(C_1(e^{-a(s-p)}-1)-C_2)dp}|V(t)=v]ds]e^{-\frac{q}{\lambda}}dq$$
El problema es que se supone que debo calcular esto para todos los enteros $j$ de $1$ a $20,000$ y para todos $t$ de $j$ a $j+120$ . Si tuviera que calcular $L_j(t)$ una vez, la simulación monte carlo estaría bien, pero tendré que realizar un gran número de simulaciones monte carlo.
Mi pensamiento inicial fue que si hiciera una simulación monte carlo, todas estas expectativas condicionales llevarán a una secuencia de bifurcación donde en cada punto del tiempo estoy generando más y más caminos. Si los valores totales de tiempo para los que necesito hacer esto son $t=20,000$ No estoy seguro de que esto sea realista desde el punto de vista computacional.
Esto es lo que he intentado con respecto al cálculo de la expectativa:
-
He aplicado la fórmula de Ito a la exponencial, he integrado, he tomado las expectativas y he convertido lo que tenía en una EDO. El plan era resolver la EDO, pero me quedé atascado aquí.
-
Consideré expandir la exponencial en una serie de Taylor, pero la integral dentro de la exponencial no está acotada por 1 a menos que escoja parámetros muy desfavorables. Los parámetros surgen en las constantes $C_1,C_2$ .
-
He aplicado Feynman-Kac. La EDP resultante es:
$$\frac{\partial u(v,t)}{\partial t}+\kappa(\theta-v)\frac{\partial u(v,t)}{\partial v}+\frac{\sigma_v^2}{2}\frac{(v-v_{min})(v_{max}-v)}{(\sqrt{v_{max}}-\sqrt{v_{min}})^2}\frac{\partial^2 u(v,t)}{\partial v^2}+v[C_2-C_1(e^{-a(s-t)}-1)]=0$$
con $u(v,s)=1$ . No conozco lo suficiente las EDP para saber si puedo resolver esto analíticamente. -
He probado la simulación de Monte Carlo, pero parece muy costosa desde el punto de vista informático. Las trayectorias del proceso de Jacobi están acotadas. Por lo tanto, $v_{min}\leq V(t)\leq v_{max}$ . Como $V(t)$ se acerca a $v_{min}$ o $v_{max}$ el término de la deriva comienza a tomar el control. Tal vez en cada punto del tiempo, pueda particionar $[v_{min},v_{max}]$ y promediar las expectativas condicionales dadas $V(t)=v(i)$ donde $v(i)$ es un punto de partición.
Preguntas:
Si tengo que recurrir a la simulación monte carlo, ¿parece factible? El proceso de Jacobi es estacionario y la distribución estacionaria es una distribución beta. Tal vez pueda utilizar este hecho para hacer la simulación más eficiente. Hay fórmulas que implican sumas infinitas para las expectativas condicionales de la forma $E[V(s)|V(t)=v]$ . Al calcular las expectativas condicionales, parece que en cada punto del tiempo, necesito generar cada vez más caminos hasta el punto en que se vuelve inviable. ¿Es esto correcto?
