Cálculo del VaR - La matriz de covarianza no es semidefinida positiva

Question

Esta es una pregunta básica.

Tengo tres activos, igualmente ponderados, y todas las covarianzas mutuas son -1. Entonces, la matriz de covarianzas se ve como -

 1  -1  -1
-1   1  -1
-1  -1   1

Ahora, para calcular el VaR, necesito calcular la varianza de la cartera.

¿Estoy en lo cierto al concluir que no puedo calcular la varianza de la cartera porque esta matriz no es semidefinida positiva? Aquí hay un poco de código R -

v = matrix(c(1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1), ncol=3)
eigen(v)
  > $eigenvalues
  > 2  2 -1

library(micEcon)
semidefiniteness(v)
  > FALSE

Mi siguiente pregunta es: dada CUALQUIER matriz simétrica por un usuario, ¿cómo puedo averiguar si puedo utilizarla para calcular la varianza de la cartera (o la matriz de covarianza)?

Además, dados los tres activos, puedo utilizarlos para crear una serie temporal ponderada para la cartera y calcular la media y la varianza de la misma, y utilizarla para calcular el VaR. ¿Cuál es la diferencia con el cálculo del VaR mediante el método de la covarianza?

Answer 1

Una pista: Para encontrar el precio y la cantidad de equilibrio, se quiere encontrar cuando el sistema está en equilibrio. En el equilibrio, la cantidad demandada debe ser igual a la cantidad suministrada.

$$Q_d = Q_s \implies -300,000P + 6,000,000 = 200,000 \sum_{i=1}^n (c_i'(q_i))^2 - 200,000$$

Dónde $c_i(q_i)$ es la función de costes de la empresa $i$ con respecto a $q_i$ , firme $i$ de la producción. Supongo que cuando escribiste $MC$ querías decir coste marginal.

$$\implies 6,200,000 - 200,000\sum_{i=1}^n (c_i'(q_i))^2 = 300,000P$$

$$\implies P = \frac{62}{3} - \frac{2}{3} \sum_{i=1}^n (c_i'(q_i))^2$$

Ahora que tenemos una función de demanda inversa con respecto a $q$ Tenemos que resolver el problema de maximización de las empresas. Como no hay información que nos hayan dado directamente sobre eso, vamos a suponer que la tecnología es homogénea y que las empresas compiten a través de la competencia de Cournot.

$$\Pi_j = q_j(P(q)) - c(q_j)$$

$$\Pi_j = q_j(\frac{62}{3} - \frac{2}{3} \sum_{i=1}^n (c'(q_i))^2) - c(q_j)$$

Ahora toma la derivada respecto a $q_j$ y se pone a cero para encontrar el máximo.

$$\Pi_j' = (\frac{62}{3} - \frac{2}{3} \sum_{i=1, i \neq j}^n (c'(q_i))^2) + \frac{2}{3} \frac{d}{dq_j} (c'(q_j)^2 \cdot q_j) - c'(q_j) = 0$$

Donde esa derivada se evalúa con la regla del producto y la cadena.

A partir de aquí, se resuelve $q_j$ como expresión de todo $q_{i, i \neq j}$ . Dado que las funciones de coste son homogéneas, no debería ser tan malo hacerlo. Recordemos también que el número de proveedores es de 1000, por lo que el problema puede simplificarse aún más:

$$\Pi_j' = (\frac{62}{3} - \frac{2}{3} \cdot 999(c'(q_i))^2) + \frac{2}{3} \frac{d}{dq_j} (c'(q_j)^2 \cdot q_j) - c'(q_j) = 0$$

$$\implies \Pi_j' = (\frac{62}{3} - 666(c'(q_i))^2) + \frac{2}{3} (2c'(q_j) \cdot c''(q_j) \cdot q_j + c'(q_j)^2) - c'(q_j) = 0$$

y luego se resuelve para $q_j$ en términos de $q_{i, i \neq j}$ y hacer el resto de la derivación de Cournot.