Modelización de los activos financieros

Question

Dejemos que $\tilde{W}_t := (1+R)^{-t}W_t$ y $\tilde{S}_t := (1+R)^{-t}S_t$ sean, respectivamente, el proceso de riqueza descontada y el precio del activo descontado. Entonces, demuestre que $$\tilde{W}_t = w_0 + \sum_{i=1}^{t}\Delta_i(\tilde{S}_{i+1} - \tilde{S}_i)$$ Para simplificar, fijamos la notación $(\delta\cdot S)_t$ para $\sum_{i=1}^{t}(S_{i+1} - S_i)$ .

Antecedentes: Consideremos un mercado de tiempo discreto con horizonte temporal $T$ en el que la negociación se produce sólo en el momento $t = 0,\ldots,T$ . Consideramos un activo de riesgo cuyo precio en el momento $t$ viene dada por una variable aleatoria $S_t$ y un activo sin riesgo (bono) con un tipo de interés $R$ .

Una estrategia de cartera autofinanciada consiste en un patrimonio inicial $w_0$ y un vector $\Delta = (\Delta_0,\ldots,\Delta_{T-1})$ tal que $\Delta_t$ muestra las unidades de activo de riesgo mantenidas en la cartera en el momento $t$ . En el momento $t = 0$ la riqueza inicial $W_0 := w_0$ se divide en $\Delta_0 S_0$ dólares en activos de riesgo y $W_0 -\Delta_0 S_0$ es un activo sin riesgo. Entonces, en el momento $t = 1$ el valor en dólares de la inversión de riesgo cambiará a $\Delta_0 S_1$ cuando el precio de mercado del activo de riesgo cambia a $S_1$ y el valor en dólares de la inversión sin riesgo se verá afectado por el tipo de interés y los cambios en $(1 + R)(W_0 - \Delta_0 S_0)$ . En este punto, queremos seguir la estrategia de la cartera y ajustar la parte de riesgo de la cartera a $\Delta_1 S_1$ . Para ello, cambiamos la posición de la cartera transfiriendo dólares entre las partes con riesgo y sin riesgo, es decir, para que la parte con riesgo de la cartera $\Delta_1 S_1$ tenemos que retirar/depositar $\Delta_0 S_1 - \Delta_1 S_1$ dólares de/en la parte de la comisión de riesgo para comprar/vender la cantidad necesaria de activos de riesgo. Para generalizar este proceso, dejemos que $Y_t$ sea la parte sin riesgo de la cartera en el momento $t$ . La parte de riesgo siempre se reequilibra para ser $\Delta_t$ número de activos de riesgo, equivalentes al valor en dólares de $\Delta_t S_t$ en el momento $t$ es decir $W_t = \Delta_t S_t + Y_t$ .

Es fácil ver que $$Y_{t+1} = (1+R)Y_t + \Delta_t S_{t+1} - \Delta_{t+1}S_{t+1}$$ donde el término $\Delta_t S_{t+1} - \Delta_{t+1}S_{t+1}$ es la cantidad necesaria para reequilibrar la cartera para la estrategia $\Delta$ . Entonces, la riqueza total $W_t$ satisface

$$W_t = w_0 + R\sum_{i=0}^{t-1}Y_i + \sum_{i=0}^{t-1}\Delta_i(S_{i+1} - S_i)$$ Si lo desea, puedo proporcionar un párrafo que llevó a esta fórmula recursiva.

Intento de solución: $$\tilde{W}_t = \frac{1}{(1+R)^t}\left[w_0 + R\sum_{i=0}^{t-1}Y_i + \sum_{i=0}^{t-1}\Delta_i(S_{i+1} - S_i)\right]$$ $$=\frac{w_0}{(1+R)^t} + \frac{R\sum_{i=0}^{t-1}Y_i}{(1+R)^t} + \frac{\sum_{i=0}^{t-1}\Delta_i(S_{i+1} - S_i)}{(1+R)^t}$$ Sabemos que $\tilde{S}_t := (1+R)^{-t}S_t$ entonces $S_t = \tilde{S}_t(1+R)^t$ . Cambiando la última suma de $i = 0$ a $i = 1$ y sustituyendo por $S_t$ obtenemos $$\frac{w_0}{(1+R)^t} + \frac{R\sum_{i=0}^{t-1}Y_i}{(1+R)^t} + \sum_{i=1}^{t}\Delta_i(\tilde{S}_{i+1} - \tilde{S}_i)$$ Siento que puedo estar haciendo algo mal aquí y / o no estoy seguro de dónde proceder desde aquí cualquier sugerencia es muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $B_t$ sea el valor del activo sin riesgo en el momento $t$ . Entonces $B_0=1$ y $B_{t+1} = (1+R) B_t$ . Además, dejemos que $\beta_t$ serán unidades invertidas en el activo sin riesgo en el momento $t$ . Está claro que $\beta_0 = w_0 - \Delta_0 S_0$ . Dado que la estrategia se autofinancia, \begin {align*} \Delta_ {t-1} S_{t-1} + \beta_ {t-1} B_{t-1} = \Delta_t S_{t-1} + \beta_t B_{t-1}, \tag {1} \end {align*} es decir, el valor no cambiará después del reequilibrio en el momento $t-1$ que se mantendrá hasta la hora $t$ .

De (1), \begin {align*} \beta_t &= \beta_ {t-1} -( \Delta_t - \Delta_ {t-1}) \frac {S_{t-1}}{B_{t-1}} \\ &= \beta_ {t-1} -( \Delta_t - \Delta_ {t-1}) \widetilde {S}_{t-1}. \end {align*} Entonces, para el proceso de riqueza normalizado $\widetilde{W}_t=W_t/B_t$ , \begin {align*} \widetilde {W}_t &= \Delta_t \widetilde {S}_t + \beta_t\\ &= \widetilde {W}_{t-1} + \Delta_t \widetilde {S}_t - \Delta_ {t-1} \widetilde {S}_{t-1}+ \beta_t - \beta_ {t-1} \\ &= \widetilde {W}_{t-1} + \Delta_t ( \widetilde {S}_t - \widetilde {S}_{t-1}) \\ & \qquad \cdots\cdots \\ &= \widetilde {W}_0 + \sum_ {i=1}^t \Delta_i ( \widetilde {S}_i - \widetilde {S}_{i-1}) \\ &= w_0 + \sum_ {i=1}^t \Delta_i ( \widetilde {S}_i - \widetilde {S}_{i-1}). \end {align*}