Anualidad creciente donde el flujo de efectivo aumenta cada segundo año

Question

Me gustaría ayuda con una fórmula para calcular el Valor Futuro dado lo siguiente:

Una cantidad se invierte al FINAL de cada año, comenzando con una cantidad de PMT al final de este año, a una tasa de interés del i% por año, capitalizada anualmente, el monto de inversión se duplica cada segundo año (de forma acumulativa).

Me resulta difícil entender la última parte, "el monto de inversión se duplica cada segundo año", ya que la fórmula del Valor Futuro de la anualidad creciente está diseñada para inversiones que crecen por año y no por segundo año, ¿cómo puedo proceder?

Answer 1

Aquí está una fórmula para el saldo al principio del año n

balance = ((1 + i)^n (3 + i) pago + (1 + i) (-2^Piso[(1 + n)/2] - 
            2^Piso[n/2] (1 + i)) pago)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

La función Piso está disponible en Excel. Esta es una implementación en Excel.

Una versión sin uso de Piso es

balance = ((1 + i)^n (3 + i) pago + 2^(1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n (-1 + 2 n))) (1 + i) 
        (-2^(1/2 (-1)^(2 n)) - 2^((-1)^n/2) (1 + i)) pago)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

Derivación de fórmula

He aquí la derivación. Con interés i al 10% y pago inicial pmt.

i   = 0.1
pmt = 100

El saldo al principio del año 1 es 0. Al final del año 1 se hace un pago, por lo que el saldo al principio del año 2 es pmt. El siguiente pago (el segundo) es el doble, etc.

p1 = 0
p2 = p1 (1 + i) + pago
p3 = p2 (1 + i) + 2*pago
p4 = p3 (1 + i) + 2*pago
p5 = p4 (1 + i) + 2^2*pago
p6 = p5 (1 + i) + 2^2*pago
p7 = p6 (1 + i) + 2^3*pago
p8 = p7 (1 + i) + 2^3*pago
p9 = p8 (1 + i) + 2^4*pago = 5437.33
p10 = p9 (1 + i) + 2^4*pago = 7581.06

Otra forma de expresar p10 es

p[9 + 1] = p[9](1 + i) + 2^Piso[9/2]*pago

Entonces esto se puede resolver usando Mathematica

RSolve[{p[n + 1] == p[n] (1 + i) + 2^Piso[n/2]*pago, p[1] == 0}, p[n], n]

La fórmula calcula correctamente el saldo al principio del año especificado.

p[n] = ((1 + i)^n (3 + i) pago + (1 + i) (-2^Piso[(1 + n)/2] - 
         2^Piso[n/2] (1 + i)) pago)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

p[9]  = 5437.33
p[10] = 7581.06

Las funciones de piso se pueden reemplazar por

Piso[(1 + n)/2] = 1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n + 2 (-1)^n n)

y Piso[n/2] = 1/4 (-1)^n (1 + (-1)^(1 + n) + 2 (-1)^n n)

dando

p[n] = ((1 + i)^n (3 + i) pago + 2^(1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n (-1 + 2 n))) (1 + i) 
        (-2^(1/2 (-1)^(2 n)) - 2^((-1)^n/2) (1 + i)) pago)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)

Por ejemplo, el saldo al principio del año 9

i   = 0.1
pago = 100
n   = 9

balance = ((1 + i)^n (3 + i) pago + 2^(1/4 (-1)^n (-1 + (-1)^n (-1 + 2 n))) (1 + i) 
        (-2^(1/2 (-1)^(2 n)) - 2^((-1)^n/2) (1 + i)) pago)/(-1 + i + 3 i^2 + i^3)
= 5437.33

Método alternativo

La misma solución también se puede encontrar como la forma cerrada de una suma.

La suma para el ejemplo se vería así

i   = 0.1
pago = 100
n   = 9

balance = 2^0 pago (1 + i)^(n - 1 - 1) +
          2^1 pago (1 + i)^(n - 2 - 1) + 2^1 pago (1 + i)^(n - 3 - 1) +
          2^2 pago (1 + i)^(n - 4 - 1) + 2^2 pago (1 + i)^(n - 5 - 1) +
          2^3 pago (1 + i)^(n - 6 - 1) + 2^3 pago (1 + i)^(n - 7 - 1) +
          2^4 pago (1 + i)^(n - 8 - 1)
= 5437.33

Cálculo básico de valor futuro

Lo anterior contrasta con el cálculo básico sin ningún doblaje así.

i   = 0.1
pago = 100
n   = 9

Cálculo iterativo

p1 = 0
p2 = p1 (1 + i) + pago
p3 = p2 (1 + i) + pago
p4 = p3 (1 + i) + pago
p5 = p4 (1 + i) + pago
p6 = p5 (1 + i) + pago
p7 = p6 (1 + i) + pago
p8 = p7 (1 + i) + pago
p9 = p8 (1 + i) + pago = 1143.59

Cálculo de suma

balance = pago (1 + i)^0 +
          pago (1 + i)^1 + pago (1 + i)^2 +
          pago (1 + i)^3 + pago (1 + i)^4 +
          pago (1 + i)^5 + pago (1 + i)^6 +
          pago (1 + i)^7
= 1143.59

Derivación de fórmula

balance = ((-1 + (1 + i)^(-1 + n)) pago)/i = 1143.59

Answer 2

Si el objetivo es obtener una solución analítica, puedes calcular el valor futuro de las inversiones realizadas en años pares e impares por separado, y luego sumarlos. Cada uno puede aplicar la fórmula de valoración estándar en términos de intervalos de 2 años en lugar de intervalos de 1 año, ya que la unidad de tiempo es arbitraria. La cantidad de inversión aumenta un 100% cada intervalo, y la tasa de interés efectiva es (1 + 0.01i)^2 - 1. De igual manera, el tiempo se mediría en intervalos de 2 años.

Answer 3

Se me ocurrió una versión de esto que me da la respuesta incorrecta, ¿alguien puede indicarme dónde estoy cometiendo un error?

def inversión(PMT, n, i):
    for x in range(1,n):
        if x==2:
            invertir_par=PMT*2**(x/2)
            FV_par= invertir_par*((1+i)-1)/i
        else: 
            invertir_impar=PMT*2**((x-1)/2)     
            FV_impar=invertir_impar*((1+i)-1)/i
        x+=1
        saldo_inversión=(FV_par+FV_impar)
        return round(saldo_inversión, 2)

Respuesta en código Mathematica

i = 0.1;
pmt = 100;
n = 9;

fvImpar = fvPar = 0;

Para[x = 1, x < n, x += 1,
  Si[Mod[x, 2] == 0,
   invertirPar = pmt*2^(x/2);
   fvPar += invertirPar*(1 + i)^(n - x - 1)
   ,
   invertirImpar = pmt*2^((x - 1)/2);
   fvImpar += invertirImpar*(1 + i)^(n - x - 1)
   ]
  ]

saldo = fvImpar + fvPar

5437.33