Cálculo de los precios de equilibrio de Nash para los duopolistas de Bertrand

Question

Intento resolver el siguiente problema.

Supongamos que los costes marginales y medios de las empresas son constantes e iguales a c y que la demanda inversa del mercado viene dada por $P = a - bQ$ donde $a,b > 0$ .

Calcule los precios de equilibrio de Nash para los duopolistas de Bertrand, que eligen simultáneamente los precios de sus productos idénticos.

Ahora intenté resolver este problema y obtuve $P_1 = P_2 = \frac{a+c}{2}$ donde $P1, P2$ son los precios.

Mi profesor dice que la respuesta es $P_1 = P_2 = c$ .

¿Puede alguien decirme en qué me he equivocado? Gracias.

Answer 1

Lo importante es recordar que los duopolistas de Bertrand compiten por el precio, no por la cantidad. Esto significa que en el juego cada jugador fija un precio y la cantidad vendida viene determinada por la curva de demanda. En este juego la empresa con el precio más bajo vende a todo el mercado y si ambas empresas tienen el mismo precio cada una vende a la mitad del mercado. Ahora tenemos que pensar en la lógica que se aplica para determinar el equilibrio. Es fácil ver que ninguna de las dos empresas fijará nunca un precio inferior a $c$ porque si se fija un precio inferior al coste marginal, la empresa obtendrá un beneficio negativo. Así que tenemos que empezar que debe ser el caso que $p_1, p_2 > c$ . Ahora, supongamos que $p_1 > p_2 > c$ . Esto no puede ocurrir porque la empresa 1 tiene un incentivo para fijar un precio inferior al de la empresa 2 y superior a $c$ por lo que se llevarán todo el mercado. La misma lógica puede aplicarse al caso de que $p_2 > p_1 > c$ . Ahora, consideremos el caso en el que $p_1 > p_2 = c$ . En este caso, la empresa 1 tiene el incentivo de fijar un precio igual a $c$ y dividir el mercado con la empresa 2, por lo que no puede ser un equilibrio de Nash. De nuevo, podemos aplicar la misma lógica al caso en el que $p_2 > p_1 = c$ . Por lo tanto, el único candidato que queda para el equilibrio de Nash es el escenario en el que $p_1 = p_2 = c$ . Este resultado es muy interesante teniendo en cuenta que con una empresa obtenemos un resultado de monopolio maximizador de beneficios, pero añadiendo sólo una empresa adicional obtenemos los mismos precios que la competencia perfecta siempre que las empresas estén jugando el juego de competencia de precios de Bertrand.