Supongamos que un consumidor tiene una ordenación de preferencias $\succsim$ en $X$ que es completa. Demuestre que si las preferencias son continuas y monótonas, entonces $x\succsim0$ para cualquier $x\in\mathbb{R}_{+}^{N}$ , donde $0$ es el $0$ vector en $R_{+}^{N}.$
Mi enfoque hasta ahora es el siguiente.
Caso 1. $x$ tiene más de todas las mercancías, en cuyo caso el resultado se desprende de la monotonicidad.
Caso 2. $x$ tiene más de una mercancía, en cuyo caso la monotonicidad no es suficiente. Queremos demostrar que $x$ está en el conjunto de contorno superior de $0$ es decir, que $x\in\{\phi\in X:\phi\succsim0\}$ . Si podemos demostrar que existe alguna secuencia de paquetes en este conjunto con el paquete $x$ como su límite, entonces el resultado se seguiría de la continuidad. Pero no estoy seguro de cómo hacerlo.
Caso 3. $x:=0$ . Trivial.
