Esto se mantiene debido a un cambio de medida. Existe el mundo real $\mathbb{P}$ y el mundo neutral al riesgo $\mathbb{Q}$ . (Voy a suponer un tipo de interés constante $r$ )
El primer teorema fundamental de la fijación de precios de los activos afirma que si no hay estrategias de arbitraje en un mercado, entonces existe al menos una medida de probabilidad $\mathbb{Q}\sim\mathbb{P}$ de manera que los precios de las acciones descontados $(S_te^{-rt})$ son $\mathbb{Q}$ -martingales, es decir, para cualquier $T\geq t$ tenemos $$\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_Te^{-rT}\mid\mathcal{F}_t]=S_te^{-rt}.$$ Podemos entonces demostrar que el proceso de valor de cualquier demanda admisible es también un $\mathbb{Q}$ -martingale. El proceso de valor de un derivado con pago terminal $V_T$ es simplemente la retribución descontada, es decir $V_t^\mathbb{Q}=\mathbb{E}^\mathbb{Q}[V_T\mid\mathcal{F}_t]$ (algunos autores definen el proceso de valor directamente como la expectativa condicional del pago descontado). Esto significa que $$V_t^\mathbb{Q}= e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[V_T].$$
Por ejemplo, consideremos una opción de compra vainilla y establezcamos $t=0$ . Usted obtiene $$\mathrm{Call} =e^{-rT}\cdot \mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max\{S_T-K,0\}].$$
Por lo tanto, para fijar el precio de la opción de compra, sólo hay que calcular esta expectativa en el mundo neutral al riesgo.
La segunda pregunta se refiere a la distribución de $(S_t)$ en $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ . Se necesita esta última para calcular la expectativa anterior. Black y Scholes (1973) suponen que el precio de las acciones sigue un movimiento browniano geométrico $$\mathrm{d}S_t=\mu S_t \mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t.$$ Para pasar de $\mathbb{P}$ a $\mathbb{Q}$ , tienes que cambiar la deriva $\mu$ . La volatilidad $\sigma$ sigue siendo el mismo. Esto se desprende de Teorema de Girsanov . Resulta que se cambia $\mu$ (bajo $\mathbb{P}$ ) a $r$ (bajo $\mathbb{Q}$ ). Recuerde que todas las acciones tienen retorno $r$ ya que nadie le paga una prima por el riesgo. Por lo tanto, en el mundo neutral al riesgo, el precio sigue $$\mathrm{d}S_t=r S_t \mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t.$$ Se puede resolver esta SDE con el Lemma de Ito para obtener un movimiento browniano geométrico. Este proceso se distribuye para cada punto de tiempo de forma log-normal. Usando esta distribución, puedes calcular la expectativa anterior y llegarás a la solución de Black y Scholes (1973).
La fijación de precios neutrales al riesgo, es decir, la determinación de los precios de los derivados como expectativa de los pagos descontados en el mundo neutral al riesgo, es una herramienta muy poderosa :)
