Encontrar un equilibrio bayesiano perfecto

Question

Cada uno de los dos vendedores, $1$ y $2$ posee un objeto indivisible que un comprador quiere comprar. Los dos objetos son idénticos. La valoración del comprador depende del el número de objetos que obtiene. La valoración de cualquiera de los dos objetos es $0.7$ mientras que la valoración de los dos objetos juntos es $1$ . Vendedor $i$ La valoración de su objeto es $0$ ( $i$ = $1$ , $2$ ).

Consideremos el siguiente juego de negociación. En el período $1$ , vendedor $1$ hace un toma y daca ( TIOLI ) ofrecen $s_{1}$ $\geq$ $0$ al comprador. Si el comprador acepta la oferta, recibe el objeto y paga $s_{1}$ . Si el comprador rechaza la oferta, no hay comercio. Vendedor $2$ no observa lo que ocurre en el período $1$ , En el período $2$ , el vendedor 2 hace un TIOLI oferta $s_{2}$ .

La remuneración de cada vendedor es igual al precio que recibe del comprador. El comprador es igual a la diferencia entre la valoración de los objetos que que recibe y los precios que paga.

Encuentre un equilibrio bayesiano perfecto de este juego.

Answer 1

En el segundo periodo, el comprador acepta cualquier oferta $s_{2}$ $\leq$ $0.7$ si ha rechazado la primera oferta y cualquier oferta $s_{2}$ $\leq$ $0.3$ si ha aceptado la primera oferta.

Teniendo en cuenta esto, sólo hay dos ofertas que pueden ser óptimas para el segundo vendedor: o bien $s_{2}$ $=$ $0.3$ o $s_{2}$ $=$ $0.7$ . Dejemos que $\mu$ denotan la probabilidad que el segundo vendedor asigna al hecho de que el comprador haya rechazado la primera oferta. La oferta óptima en el segundo periodo es:

\begin {Edición} s_{2}= \left\ { \begin {array}{@{}ll@{}} 0.3 & \text {si} \mu < \frac {3}{7} \\ 0.7 & \text {si} \mu > \frac {3}{7} \\ \end {array} \right. \end {Ecuación} cualquier aleatoriedad entre $0.3$ y $0.7$ $\text{if}\ \mu = \frac{3}{7} $

Supongamos que el equilibrio es tal que el comprador rechaza la primera oferta. En el segundo período, el segundo vendedor ofrecerá $s_{2} = 0.7$ y la retribución del comprador es igual a 0. Por ello, el comprador debe aceptar cualquier oferta inferior a $0.7$ (el comprador puede garantizar un beneficio positivo aceptando la primera oferta y rechazando la segunda). Pero entonces el primer comprador debe ofrecer $s_{1} < 0.7$ y obtener un resultado positivo. En otras palabras, hemos demostrado que no existe ninguna PBE en la que el comprador rechace la primera oferta.

Veamos ahora si podemos construir un equilibrio en el que el comprador acepta la primera oferta. En este caso $s_{2} = 0.3$ . Esto implica que el comprador aceptará la primera oferta sólo si $s_{1} < 0.3$ (de hecho, al rechazar la primera oferta y aceptar la segunda, el comprador garantiza un pago igual a $0.4$ ). Finalmente, dado esto, es óptimo que el primer vendedor ofrezca $s_{1} = 0.3$ En resumen, tenemos la siguiente PBE de estrategia pura.

El primer vendedor ofrece $s_{1} = 0.3$ En el primer período, el comprador acepta una oferta si y sólo si $s_{1} = 0.3$

En el segundo período, el segundo vendedor asigna la probabilidad $\mu = 0$ al hecho de que el comprador haya rechazado la primera oferta. Así, el segundo vendedor ofrece $s_{2} = 0.3$

Por último, la estrategia del comprador en el segundo periodo se describe más arriba.